第1章概  述
  GPS是基于卫星技术的全球定位系统。GPS的技术基础是同时观测接收机到几颗卫星的距离。卫星的位置和GPS信号一起发播给用户，利用几个卫星的已知位置以及接收机与卫星间测得的距离，就可以确定接收机的位置。接收机位置的变化即速度也可确定。GPS最重要的应用是定位和导航。
经过几十年的发展，现在几乎学校的孩子们都知道GPS. GPS已经广泛地应用于各领域，例如空中、海上和陆地导航，低轨卫星(LEO)的定轨，静态和动态定位，飞行状态监视，以及测绘等，已经成为日常生活、工业、研究和教育的必需。
如果一个人戴着GPS慢跑，希望了解自己的位置，他的操作非常简单，只需按一个键就行了。但是，其原理很复杂，涉及了电子学、轨道力学、大气科学、测地学、相对论、数学、平差和滤波以及软件工程等方面的知识。许多科学家和工程师致力于使GPS理论更易于理解，应用更精确。
Galileo是欧洲的全球定位系统，而GLONASS是俄罗斯的。它们与美国的GPS系统相比，定位和导航原理几乎是相同的。除了个别例外，GPS的理论和方法可以直接用于Galileo和GLONASS系统。将来的全球导航卫星系统是把GPS、GLONASS和Galileo系统组合在一起的GNSS系统。
为了描述如何用数学模型、坐标和时间系统来进行距离测量，必须讨论卫星的轨道运动和GPS观测量(第2～4章)。电离层和对流层效应等对GPS测量的物理影响也不得不处理(第5章)。然后，能够采用诸如数据组合、差分以及等价技术等不同的方法形成线性观测方程(第6章)。方程式可以是满秩的或非满秩的，可能需要事后或准实时求解，因此需要讨论不同的平差和滤波方法(第7章)。对于高精度GPS应用，必须使用相位观测量，所以不得不处理模糊度问题(第8章)。然后讨论了参数化算法、等价理论以及GPS数据处理的标准算法(第9章)。随后，概要介绍了GPS理论和算法在GPS/Galileo软件开发中的应用，给出了一个精确的动态定位和飞行状态监视的实例(第10章)。基于上述理论，描述了应用于摄动定轨的动态GPS理论(第11章)。在最后一章给出了讨论和注释。本书的内容和结构是以这样的逻辑顺序组织的。
本书的内容覆盖动态、静态和动力学GPS理论和算法。大部分内容是修订过的，已经应用于独立研发的GPS软件KSGsoft(Kinematic and Static GPS Software)和MFGsoft(Multi-Functional GPS/Galileo Software)，是广泛研究的结果。由于具有很强的研究和应用背景，因此本书理论部分撰写得较深入细致。前言中对这些理论进行了简单归纳。
本书频繁地引用参考了众多的GPS书籍文献。其中有一些可作为进一步的阅读材料，例如，文献(Bauer,1994)，文献(Hofmann-Wellenhof et al.,2001)，文献(King et al., 1987)，文献(Kleusberg,Teunissen (Eds.),1996)，文献(Leick,1995)，文献(Liu et al.,1996)，文献(Parkinson,Spilker (Eds.),1996)，文献(Remondi,1984)，文献(Seeber,1993)，文献(Strang,Borre,1997)，文献(Wang et al., 1988)，文献(Xu,1994)等。
1.1 GPS核心
全球定位系统GPS是由美国国防部设计、建设、控制和维护的(Parkinson,Spilker,1996)。第一颗GPS卫星发射于1978年，到20世纪90年代中期整个系统全部运转。GPS星座由6个轨道面上的24颗卫星组成，每个轨道面4颗星。相邻轨道面的升交点赤经相差60. ，轨道面倾角55. 。每颗GPS卫星处于半长轴为26578km、周期大约12h的近圆轨道上。卫星不停地调向以确保其太阳帆板指向太阳，而其天线指向地球。每颗卫星携带4个原子钟，大小与轿车相当，重约1000kg。原子钟的长期频率日稳定度优于10-13(Scherrer,1985)。卫星上的原子钟产生基本的L波段，频率为10.23MHz. 
GPS卫星由5个监测站监测。主控站设在科罗拉多州的Springs，其他4个设置在南大西洋的阿森松岛、印度洋的迪戈加西亚、太平洋的夸贾林环礁和夏威夷。所有站都装备有精密的铯钟和接收机，用于确定广播星历和卫星时钟。星历和星钟修正信号被发送给卫星，卫星反过来用这些来更新它们送给GPS接收机的信号。
每颗GPS卫星按三个频率传输数据: L1(1575.42MHz)、L2(1227.60MHz)和L5(1176.45MHz). L1、L2和L5载波频率是由基础频率分别乘以154、120和115倍产生的。伪随机噪声(PRN)码，连同卫星星历、电离层模型和卫星时钟修正值一起被调制到L1、L2和L5载波频率上。信息从卫星到接收机的传输时间测量值被用来计算伪距。Course-Acquisition(C/A)码，有时称为标准定位服务(SPS)，是一个在L1载波上调制的伪随机噪声码。精(P)码，有时称为精确定位服务(PPS)，调制在L1、L2和L5载波上以消除电离层影响。 
全球定位系统(GPS)的设想是用于从太空中已知位置的卫星测量未知的地面、海上、空中和空间的点位的测距系统。GPS卫星轨道是通过广播或国际大地测量服务(IGS)获取的。IGS轨道是事后或准实时处理后的精密星历。所有GPS接收机都有一个存储在其计算机中的卫星历书，告诉用户各颗卫星何时在何处。卫星历书是一个数据文件，包含所有卫星的轨道和时间修正信息，由GPS卫星传送到GPS接收机，使得GPS接收机能够快速捕获卫星。GPS接收机探测、解码和处理接收到的卫星信号来产生伪距、相位和多普勒观测量。这些数据可实时使用或存储下载。接收机的内嵌软件通常采用单点定位法来处理实时数据并把信息输出给用户。由于接收机软件的限制，精确的定位和导航一般由具有更强能力软件的外部计算机来处理。GPS的基本作用就是告诉用户它在哪儿、它如何运动，以及所需时间是多少。
自从GPS技术民用以来，GPS的应用已经变得几乎无所不在。GPS已经成为生活必需。
1.2 GLONASS简述
GLONASS是由俄罗斯天军管理的全球导航卫星系统，系统由俄罗斯联邦国防部联合科学信息中心(KNITs)操作运行。此系统类似于美国的GPS，两个系统具有同样的数据传输和定位原理。第一颗GLONASS卫星于1982年发射进入轨道。系统由处于3个轨道面上的21颗卫星组成，3颗在轨备份星。每个轨道面的升交点赤经与上一轨道面相差120. ，而在同一轨道面内的卫星均间隔45. 。两个轨道平面上相同通道内卫星的纬度辐角相差15. 。每颗卫星在长半轴为25510km的近圆轨道上运行。每个轨道面倾角为64.8. ，每颗卫星大约11h16min绕轨运行一周。
GLONASS星使用铯钟。铯钟的频率日稳定度优于10-13。卫星分别在两个频段1602～1615.5MHz和1246～1256.5MHz上以两个频率传输编码信号，频率间隔分别为0.5625MHz和0.4375MHz。在相同轨道纬度角距相差180. 的对称卫星，传输频率相同。信号可以被地球表面任意位置的用户接收，通过测距实时确定它们的位置和速度。GLONASS使用的坐标和时间系统不同于美国的GPS. GLONASS卫星是采用稍微不同的载波频率来识别的，而不是采用不同的PRN码。由于历史原因，GLONASS的地面控制站仅在苏联的领土上，缺少全球的覆盖对于一个全球导航卫星系统的监控而言是不理想的。
GLONASS和GPS互相不是完全兼容的，然而，它们一般是可互操作的。把GLONASS和GPS资源结合起来，GNSS用户们将不仅受益于精度的提高，也受益于世界范围内的更高的完好性。 
1.3 Galileo的基本情况
Galileo系统是由欧盟和欧空局(ESA)发起建设的全球导航卫星系统(GNSS)，提供非军方控制(参见ESA主页)的有保障的高精度全球定位服务。同时，作为一个独立的导航系统，Galileo将可与另外两个全球卫星导航系统GPS和GLONASS互操作。用户能够使用同一个接收机从任何卫星、以任意的组合方式进行定位。Galileo保证了服务的可用性和更高精度。
第一颗Galileo卫星于2005年12月发射，大小为2.7m×1.2m×1.1m, 重650kg，全系统将于2010-2012年运行。Galileo星座由30颗中轨地球卫星组成，这些卫星分布在3个轨道面上，每个轨道面上等间距部署9颗工作星和1颗不激活的备份星。每个轨道面的升交点赤经与上一轨道面均间隔120. ，各轨道面的轨道倾角为56. 。每颗Galileo卫星在近圆轨道上运行，轨道的半长轴为29600km(参见ESA主页)，绕轨道一周为14h. Galileo卫星绕其指向地球的轴旋转，使其太阳阵列帆板总是面向太阳以收集最多的太阳能。展开的太阳板阵列跨度为13m。天线总是指向地球。
Galileo卫星有4个时钟，每种类型2个(被动式微波激射器和铷钟，稳定度:  12h内分别为0.45ns和1.8ns)。在任何时候，每类仅有一个钟在工作。工作的微波激射器钟产生一个基准频率，并由此产生导航信号。如果微波激射器钟失效，工作的铷钟将立即代替之，同时两个备用时钟开始工作。第二个微波激射器钟在完全运转几天后将代替铷钟。然后铷钟将再次变为备份或备用状态。这样，Galileo卫星可以保证在任何时候都产生导航信号。
Galileo将提供10个右旋圆极化(RHCP)的导航信号，频率范围1164～1215MHz(E5a和E5b), 1215～1300MHz(E6)和1559～1592MHz(E2-L1-E1)(Hein et al., 2004). Galileo和GPS的互操作性和兼容性，是通过E5a/L5和L1上的两个公共中心频率，以及适当的坐标系统和时间系统实现的。
1.4 组合的全球导航卫星系统
Galileo系统建设的启动是对GPS和GLONASS系统的直接挑战。毫无疑问它对GPS系统的现代化和GLONASS系统的进一步发展具有正面影响。多个导航系统的独立运行有助于增强实时定位导航的精度。无疑，未来的全球卫星导航系统会是多系统GNSS联合定位。组合使用GPS、GLONASS和Galileo系统，约75颗卫星将极大增强可见卫星数，对于如市内峡谷类的应用领域尤其如此。
由于系统的独立性，GPS、GLONASS和Galileo系统的时间和坐标系统是各不相同的。但是，这三个时间系统都基于UTC，三个坐标系统都是笛卡儿坐标系。因此，它们之间的关系是确定的，都可以从一个系统转换为另一个系统。GPS和GLONASS坐标系的原点相距几米。GPS和Galileo坐标系的原点相差仅几厘米。为了消除电离层效应，每个系统均采用了几种载波频率。如果将载波相位观测量乘以波长当作距离观测，那么GPS、GLONASS与Galileo系统之间的频率差异问题，还有GLONASS系统内的频率差异问题都很好解决了。
在本版中，考虑到GPS、GLONASS和Galileo不同系统之间的差异，全球定位系统的理论和算法将以一种更通用的方式进行讨论。
第2章坐标系统和时间系统
  GPS卫星在环绕地球的轨道上运行，GPS测量大部分也在地球上进行。为了把GPS观测量(距离)描述成GPS卫星位置和测站位置的函数， 必须定义适当的坐标系统和时间系统。
2.1 地心地固坐标系
采用地心地固(ECEF)坐标系来描述地球上测站的位置比较方便。ECEF坐标系是右手笛卡儿坐标系(x, y, z)。其原点和地球的质量中心重合，而其z轴和地球的平均旋转轴一致，x 轴指向平均格林威治子午线，y轴指向按右手系形成(参见图2.1)。换句话说，z轴指向地球平均磁极。这样一个平均磁极称为国际协议原点（CIO) . xy 平面被称为平均赤道面，而xz平面称为平均零子午面。
图2.1 地心地固坐标系
ECEF坐标系是协议地球系(CTS)。在这里必须使用平均旋转轴和平均零子午线。地球的真旋转轴的方向在地球体内随时在变。如果采用这样的磁极来定义一个坐标系，那么站的坐标也随时改变。由于测量是在真实世界中进行的，很显然，真磁极的运动必须考虑，这在后面将要讨论。
ECEF坐标系可以用球面坐标(r,,λ)表示，这里r是点(x,y,z)的地心向径，和λ分别是相对于地心的纬度和经度(参见图2.2). λ从零子午线向东数。容易得到(x,y,z) 和(r,,λ)之间的关系是x
y
z=rcoscosλ
rcossinλ
rsin,  或 r=x2+y2+z2
tanλ=y/x
tan=z/x2+y2    (2.1)图2.2 笛卡儿坐标和球面坐标系
图2.3 椭球大地坐标系GPS理论、算法与应用（第2版）第2章 坐标系统和时间系统  椭球大地坐标系(φ,λ,h)也可基于ECEF坐标定义。椭球面是一个旋转椭球面，几何上需要另外定义两个参数来表示椭球的形状(参见图2.3)，这两个几何参数是旋转椭球的长半轴(记为a)和短半轴(记为b)，或者椭球体的长半轴和扁率(记为f). φ、λ和h分别是大地纬度、经度和大地高。地心经度和大地经度是相同的。 (x,y,z)和(φ,λ,h)之间的关系是(Torge,1991)x
y
z=(N+h)cosφcosλ
(N+h)cosφsinλ
(N(1-e2)+h)sinφ                 (2.2)或tanφ=zx2+y21-e2NN+h-1
tanλ=y/x
h=x2+y2cosφ-N          (2.3)其中N=a1-e2sin2φ                     (2.4)N是卯酉圈曲率半径，e是第一偏心率。N的几何意义如图2.4 所示。在式(2.3)中，φ和h必须通过迭代求解，但此迭代过程收敛很快。扁率和第一偏心率分别定义为f=a-ba,  或 e=a2-b2a            (2.5)在φ=±90. 或h很大的情况下，式(2.3)的迭代计算可能不稳定，此时作为替换，使用(Lelgemann,2002)ctanφ=x2+y2z+Δz
Δz=e2Nsinφ=ae2sinφ1-e2sin2φ可以得到φ的稳定迭代结果。Δz和e2N分别是OB和AB的长度(参见图2.4). h可以由Δz计算得到，即h=x2+y2+(z+Δz)2-N图2.4 卯酉圈曲率半径
  1984世界大地坐标系(WGS-84)的2个椭球参数分别是(a=6378137m, f=1/298.2572236)。在ITRF-96系统中，a=6378136.49m, f=1/298.25645. ITRF使用国际地球自转服务(IERS)协定(见McCarthy,1996)。在GLONASS的PZ-90坐标系中，这2个参数分别是a=6378136m, f=1/298.2578393. 
地心纬度和大地纬度φ间的关系可以由下式给出(参见式(2.1)和式(2.3)) tan=1-e2NN+htanφ(2.6)2.2 坐标系转换
任意笛卡儿坐标系可以通过三次旋转转换为另一个笛卡儿坐标系，只要它们的原点相同并且都是右手系或都是左手系。三个旋转矩阵分别是R1(α)=100
0cosαsinα
0-sinαcosα
R2(α)=cosα0-sinα
010
sinα0cosα                    (2.7)
R3(α)=cosαsinα0
-sinαcosα0
001其中，α是旋转角，其角度值按从正轴到原点看过去的逆时针方向转动为正；R1、R2和R3分别称为x、y和z轴的旋转矩阵。对于任何旋转矩阵R，有R-1(α)=RT(α)和R-1(α)=R(-α)，即旋转矩阵是正交矩阵，R-1和RT分别是矩阵R的逆矩阵和转置矩阵。
对于两个具有不同原点和不同长度单位的笛卡儿坐标系，其一般的转换公式是Xn=X0+μRXold (2.8)或xn
yn
zn=x0
y0
z0+μRxold
yold
zold其中，μ是尺度因子(或两个长度单位的比率); R是由三次适当的旋转形成的转换矩阵；xn和xold分别表示新坐标和旧坐标；x0表示平移向量，是老坐标系原点在新坐标系中的坐标向量。
如果旋转角α很小，那么有sinα≈α和cosα≈1。此时，旋转矩阵能被简化。如果式(2.8)中的这三个旋转角α1、α2和α3很小，那么R可以写成(Lelgemann, Xu, 1991)R=1α3-α2
-α31α1
α2-α11                (2.9)其中，α1、α2和α3分别是绕x、y和z 轴的小旋转角。使用此简化的R，转换式(2.8)被称为Helmert转换公式。
作为一个实例，从WGS-84到ITRF-90的转换式为(McCarthy, 1996)xITRF-90
yITRF-90
zITRF-90= 0.060
-0.517
-0.223+μ1-0.0070" -0.0003" 
0.0070"  1-0.0183" 
0.0003"  0.0183"  1xWGS-84
yWGS-84
zWGS-84其中，μ=0.999999989，转换向量的单位为m. 
GPS、GLONASS和Galileo系统坐标系之间的转换一般可以用式(2.8)表示，尺度因子μ=1(即3个系统中使用的单位是相同的)。在不同坐标系间的速度转换公式可以通过在时间上对式(2.8)差分得到。
2.3 当地坐标系
当地左手笛卡儿坐标系(x′,y′,z′)定义: 原点在当地点P1(x1, y1, z1), 其z′轴垂直向上，x′轴指向大地北，y′轴指东(参见图2.5). x′y′平面称为水平面；z′轴与椭球体正交。
图2.5 当地水平坐标系
这样的坐标系也称为当地水平坐标系。对于任何点P2，其坐标在全球坐标系和当地坐标系中分别为(x2, y2, z2)和(x′,y′,z′)，则有如下关系:x′
y′
z′=dcosAsinZ
sinAcosZ
cosZ, 即 d=x′2+y′2+z′2
tanA=y′/x′
cosZ=z′/d(2.10)其中，A是方位角，Z是天顶角距，而d是P2在当地坐标系的向径。A是从正北顺时针起算，Z是垂线与向径d之间的夹角。
当地坐标系(x′,y′,z′)可以通过对全球坐标系(x, y, z)连续两次旋转R2(90. -φ)R3(λ)，然后把x轴变换为右手系而得到。换句话说，全球坐标系统必须先绕z轴旋转λ角，再绕y轴旋转90. -φ，然后改变x轴的符号。总的旋转矩阵R是R=-sinφcosλ-sinφsinλcosφ
-sinλcosλ0
cosφcosλcosφsinλsinφ         (2.11)因此，有Xlocal=RXglobal 和 Xglobal=RTXlocal        (2.12)其中，Xlocal和Xglobal分别是当地坐标系和全球坐标系中表示的同一个向量。φ, λ是当地点大地的纬度和经度。
如果垂线方向被定义为当地点的重力垂线，那么这样一个当地坐标系被称为天文水平坐标系(其x′轴指北，左手系). P点的重力垂线g和椭球体法线p通常是不一致的，然而，差别很小，在GPS实践中可以忽略。
综合式(2.10)和式(2.12)，点P2(卫星)相对于站P1的天顶角和方位角可以直接使用这两点的全球坐标计算:cosZ=z′d 和 tanA=y′x′(2.13)其中d=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
x′=-(x2-x1)sinφcosλ-(y2-y1)sinφsinλ+(z2-z1)cosφ
y′=-(x2-x1)sinλ+(y2-y1)cosλ
z′=(x2-x1)cosφcosλ+(y2-y1)cosφsinλ+(z2-z1)sinφ2.4 地心惯性坐标系
为了描述GPS卫星的运动，必须定义一个惯性坐标系。卫星的运动遵循牛顿力学原理，牛顿力学在惯性坐标系有效。所以，协议天球参考框架(CRF)符合我们的意图。CRF的xy平面是地球的赤道面；坐标是天文经度和天文纬度，天文经度的测量值从春分点沿赤道向东。春分点是黄道和赤道的相交点。因此右手地心惯性系(ECI)采用地球中心作为原点，国际协议原点(Conventional International Origin,CIO)作为z轴，其x轴指向J2000.0春分点(公历2000年1月1日12时)。这样的坐标系也被称为该时刻的赤道坐标系。由于地球中心的运动(加速度), ECI实际上是一个准惯性系统，需要在此坐标系中考虑广义相对论效应。然而，此坐标系环绕太阳运动，而不相对于CIO旋转。这个坐标系也称为地心空间固定坐标系(ECSF). 
图2.6 岁差与章动Torge(1991)给出了一个极好的示意图来阐明地球磁极相对于黄道磁极的运动(参见图2.6)。由于受月亮和太阳微重力效应的影响，地球的扁率与黄道的倾斜度结合在一起，导致了赤道在黄道上的慢速旋转。大约26000年的缓慢循环运动的周期，被称为岁差(precession)。而另一种周期为14天到18.6年的较快的运动被称为章动。把岁差和章动考虑进去，地球的平极(相对于平均赤道)就被转换为地球的真极(相对于真实赤道). ECI的x轴指向该时刻的春分点。
从春分点到格林威治子午线的地球旋转角被称为格林威治视恒星时(GAST)。把GAST考虑进去(称为地球旋转)，该时刻的ECI被变换为真赤道坐标系。真赤道系与ECEF系之间的差别在于极线的运动。因此我们用几何法把ECI坐标系转换为ECEF坐标系。转换过程可以写成XECEF=RMRSRNRPXECI(2.14)其中，RP是岁差矩阵;RN是章动矩阵；RS是地球旋转矩阵；RM是极移运动矩阵;X是坐标向量；脚标ECEF和ECI表示相关的坐标系。
岁差
岁差矩阵由3个连续的旋转矩阵组成，即(Hofman-Wellenhof et al., 1997; Leick,1995;  McCarthy,1996)RP=R3(-z)R2(θ)R3(-ζ)
=coszcosθcosζ-sinzsinζ-coszcosθsinζ-sinzcosζ-coszsinθ
sinzcosθcosζ+coszsinζ-sinzcosθsinζ+coszcosζ-sinzsinθ
sinθcosζ-sinθsinζcosθ(2.15)其中，z、θ、ζ是岁差参数，且z=2306." 2181T+1." 09468T2+0." 018203T3
θ=2004." 3109T-0." 42665T2-0." 041833T3
ζ=2306." 2181T+0." 30188T2+0." 017998T3(2.16)式中T是从J2000.0起算的儒略世纪(36525天)中的测量时。
章动
章动矩阵包括3个连续的旋转矩阵，即(Hoffman-Wellenhof et al.,1997;  Leick,1995;  McCarthy,1996)RN=R1(-ε-Δε)R3(-Δψ)R1(ε)
=cosΔψ-sinΔψcosε-sinΔψsinε
sinΔψcosεtcosΔψcosεtcosε+sinεtsinεcosΔψcosεtsinε-sinεtcosε
sinΔψsinεtcosΔψsinεtcosε-cosεtsinεcosΔψsinεtsinε+cosεtcosε
≈1-Δψcosε-Δψsinε
Δψcosεt1-Δε
ΔψsinεtΔε1(2.17)其中，ε是该时刻的黄赤平交角，Δψ和Δε分别是在黄经和交角方向的章动，εt=ε+Δε，且
  ε=84381." 448-46." 8150T-0." 00059T2+0." 001813T3    (2.18)
对于很小的Δψ，令cosΔψ=1, sinΔψ=Δψ，可以得出ε的近似值。要得到精确解，应严格采用旋转矩阵。章动参数Δψ和Δε可以通过采用国际天文协会(IAU)理论或IERS理论计算得出Δψ=∑106i=1(Ai+A′iT)sinβ
Δε=∑106i=1(Bi+B′iT)cosβ或Δψ=∑263i=1(Ai+A′iT)sinβ+A" icosβ
Δε=∑263i=1(Bi+B′iT)cosβ+B" icosβ这里的参数β=N1il+N2il′+N3iF+N4iD+N5iΩ其中，l是月亮的平近点角；l′是太阳的平近点角，F=L-Ω; D是太阳到月亮的平角距；Ω是月亮升交点的平(黄经); L是月亮的平(黄经). l、 l′、 F、 D 和 Ω的公式在11.2.8节给出。系数N1i、N2i、N3i、N4i、N5i、 Ai、 Bi、 A′i、B′i、Ai" 和 Bi" 的值可在McCarthy(1996)的书中找到。最新的公式和表可在更新的IERS网站中找到。为方便起见，在附录A中给出了IAU1980章动模型的系数。
地球旋转
地球旋转矩阵可表示为RS=R3(GAST),                (2.19)其中，GAST是格林威治视恒星时，且GAST=GMST+Δψcosε+0." 00264sinΩ+0." 000063sin2Ω(2.20)其中，GMST是格林威治平恒星时；Ω是月亮升交点的平黄经；公式右侧第二项是春分点章动。此外，GMST=GMST0+αUT1                         (2.21)
GMST0=6×3600." 0+41×60." 0+50." 54841+8640184." 812866T0
    +0." 093104T20-6." 2×10-6T30
α=1.002737909350795+5.9006×10-11T0-5.9×10-15T20其中，GMST0是在当天午夜的格林威治平恒星时；α是变换率；UT1是极移修正世界时(参见2.6节); T0是在儒略世纪(36525天)中从J2000.0到测量日的UT1零时经过的时间。计算GMST使用了UT1(参见2.6节). 
极移
如图2.7所示，极移定义为在天极与CIO极之间的夹角。极移坐标系由xy平面坐标定义，其x轴指南且与格林威治平子午线一致，而y轴指西。xp和yp是真天极的角度值，故极移的旋转矩阵可以表示为RM=R2(-xp)R1(-yp)=cosxpsinxpsinypsinxpcosyp
0cosyp-sinyp
-sinxpcosxpsinypcosxpcosyp
≈10xp
01-yp
-xpyp1(2.22) 由IERS确定的xp和yp可以从IERS主页获得。
图2.7 极移
2.5 地心黄道惯性坐标系
如上所述，ECI采用CIO极作为z轴(考虑极移、章动和岁差)。如果黄道极被用作z轴，那么就定义了一个黄道坐标系，称之为地心黄道惯性坐标系(ECEI). ECEI的原点在地球的质心，其z轴指向黄道极(或xy平面是平黄道)，而其x轴指向春分点。ECI和ECEI坐标系间坐标变换可以表示为XECEI=R1(-ε)XECI其中，ε是黄道面相对赤道面的黄道角(平均倾角). ε的计算公式在2.4节给出。通常，太阳和月亮及行星的坐标系用ECEI坐标系给出。
2.6 时间系统
在卫星观测中采用了3个时间系统，分别是恒星时、力学时和原子时(Hofman-Wellenhof et al.,1997;  Leick,1995;  McCarthy,1996; King et al.,1987). 
恒星时是对地球旋转的度量，定义为春分点的时角。如果计量是从格林威治子午线起算，恒星时被称为格林威治恒星时。世界时(UT)是视太阳格林威治时角，其均匀地在赤道面中绕轨运行。由于地球旋转的角速度不是常量，恒星时是不均匀的。UT的摆动部分是由地球的极移引起的。极移修正后的世界时表示为UT1. 
力学时是均匀的，用于描述重力场中物体的运动。质心力学时(TDB)应用于惯性坐标系(其原点在质量中心)。地球力学时(TDT)应用于准惯性坐标系(如ECI)。由于地球绕太阳运动(或者说在太阳的引力场中), TDT相对于TDB会有些变化。然而， TDT可以用来描述卫星的运动而不用考虑太阳引力场的影响。TDT也被称为地球时(TT). 
原子时是由原子钟保持的时间，如国际原子时(TAI)。它是一种用于ECEF坐标系的刻度均匀的时间。在实践中TDT由TAI(具有32.184s的常值偏移量)来实现。由于地球相对太阳的旋转在逐渐变慢，引入协调世界时(UTC)来保持TAI与太阳日的同步(通过插入跳秒). GPS时(GPST)也是原子时。
不同时间系之间的关系给定如下:TAI=GPST+19.0s
TAI=TDT-32.184s
TAI=UTC+ns
UT1=UTC+dUT1(2.23)其中，dUT1可以从IERS获得(dUT1<0.7s,参见（Zhu et al.,1996), dUT1同导航数据一起广播); n是日期的跳秒数，在每年的1月1日和7月1日被插入UTC中。实际的n可在IERS报告中找到。
时间参数T(儒略世纪)由2.4节给出的公式给出。为方便起见，T被记为TJD, TJD可从公历日期(年、月、日和小时)计算，如下:JD=INT(365.25Y)+INT(30.6001(M+1))+日+小时/24+1720981.5
  TJD=JD/36525     (2.24)其中Y=年-1, M=月+12, 如果月≤2
Y=年，  M=月，如果月>2其中，JD是儒略日，小时是UT时间，INT表示实数的整数部分。儒略日从JD2000.0算起，即JD2000=JD-JD2000.0。其中JD2000.0是儒略日2000年1月1日12时，其值为2451545.0天。每个儒略世纪为36525天。
相反，公历日(年、月、日和小时)可以按下式从儒略日(JD)计算:b=INT(JD+0.5)+1537
c=INT((b-122.1)/365.25)
d=INT(365.25c)
e=INT((b-d)/30.6001)
时=JD+0.5-INT(JD+0.5)
日=b-d-INT(30.6001e)
月=e-1-12INT(e/14)
年=c-4715-INT((7+月)/10)(2.25)其中，b、c、d和e是辅助数。
由于GPS标准时间定义为JD=2444244.5(1980年1月6日0时), GPS周和日具体按下式计算:N=modulo(INT(JD+1.5),7)
周=INT((JD-2444244.5)/7)  (2.26)其中，N是周中的日(N=0为周一，N=1为周二，以此类推). 
为了保留位数并从午夜而不是中午计算日期，改进的儒略日(MJD)定义为MJD=(JD-2400000.5)          (2.27)  GLONASS时间(GLOT)由莫斯科时UTCSU定义，其理论上等于UTC加3小时(相当于莫斯科时到格林威治时的偏差）. GLOT由GLONASS中央同步器(RoBbach, 2000)监控和校准。UTC和GLOT有一个简单的关系  UTC=GLOT+τc-3h其中，τc是关于UTCSU的系统时间修正量，由GLONASS星历广播且小于1μs。所以，近似有GPST=GLOT+m-3h其中，m被称为GPS与GLONASS(UTC)时之间的一个“跳秒”，在GLONASS星历中给出。m实际上是自GPS标准时间(1980年1月6日0时)的跳秒。
Galileo系统时(GST)将由一些UTC实验室时钟维持。GST和GPST是不同UTC实验室的时间系统。在GST和GPST偏差提供给用户后，可以保证它们的互用性。