第1章 体系的几何组成分析
用各种结点将杆件连接起来所组成的体系称为杆件体系。这样的体系不一定能在任意荷载下都保证不发生几何形状与位置变化，只有不发生几何形状与位置变化的体系才能做常规的工程结构使用。结构的几何组成方式不同还将影响其力学性能和分析方法。因此，在分析结构的受力、变形等之前，必须首先了解常规结构的几何组成方式。
实际结构中的构件在外界因素作用下都是要变形的，但是因为变形都很微小，做体系的几何组成分析时可以忽略其变形，因而所有构件在本章将均视为刚体 (rigid body) . 
1.1 基本概念
1.1.1 几何不变体系、几何可变体系
在忽略微小变形的前提下，几何形状及位置都不能发生变化的杆件体系称为几何不变体系 (geometrically stable system) ，如图1-1(a)所示。而几何图1-1 杆件体系形状或位置能发生变化或两者均能发生变化的体系则称为几何可变体系 (geometrically unstable system) ，如图1-1(b)、(c)、(d)所示。
几何可变体系又可分为常变体系 (frequentation unstable system)  和瞬变体系 (instantaneous unstable system) 。如图1-1(b)、(c)所示体系可以发生有限的位移，称为常变体系；如图1-1(d)所示体系，杆件处在水平位置时可有运动趋势，但在发生微小位移后又不再能继续运动的体系称为瞬变体系. 
只有几何不变体系才能作为常规的工程结构使用。几何可变体系只能在特定荷载下保持平衡，在一般荷载作用下均将发生运动，因此几何可变体系不能作为常规的工程结构。
1.1.2 自由度
自由度(degree of freedom)是指确定体系位置所需的独立坐标数，或者体系运动时可以独立改变的几何参数的数目。体系的自由度通常记作n. 
根据上述定义，图1-2(a)所示的平面上一个自由点A，其独立的坐标数为2，一个平面自由刚体AB（平面刚体也称为刚片，其形状可任意） 的独立坐标为3（两个坐标和一个转角）。因此，图1-2(a)所示的自由度为n=2；图1-2(b)所示的自由度为n=3. 
    结构力学(第2版) 第1章 体系的几何组成分析     图1-2 自由点与自由刚体的自由度
1.1.3 约束
组成杆件体系的各杆件之间，以及体系和基础之间需要通过结点、支座相互联系起来。这些相互联系将使体系的自由度减少。
凡能减少体系自由度的装置称为约束(constraint)（也称为联系) 。能减少s个自由度的装置就称为有s个约束或s个联系。常见的约束有： 
 (1)  单铰(simple hinge) 仅连接两个刚片（或杆件） 的铰链称为单铰，如图1-3 (a) 所示。若图中的单铰A不存在，两个杆件有6个自由度；加铰后，确定体系位置只需4个坐标： xA、yA、φ1、φ2，即有4个自由度。这个单铰能减少两个自由度，因此一个单铰相当于两个约束。
 (2)  链杆(connection link) 用于将两个刚片或杆件连接在一起的两端铰结的杆件称为链杆。图1-3 (b）中的12杆即为链杆。在几何组成分析时往往将大地视为刚片，体系与大地相连的支座杆即为链杆，它只能减少一个自由度，故一根链杆为一个约束。
 (3)  单刚结点(simple rigid joint) 仅连接两杆或刚片的刚结点，图1-3 (c) 所示的B处即为单刚结点。它能减少三个自由度，所以单刚结点有三个约束。任一杆段均可视为由两段刚结而成，因而杆中任意截面处均可视为有三个约束。
图1-3 约束
链杆、单铰和单刚结点从运动的可能性或从所提供的约束方面考虑，可以如图1-4和图1-5所示互相代替，也即双向箭头(  )所表示的是相互可以替换的。例如图1-4(a)相交两链杆等价于一个单铰；图1-5所示的单刚结点等价于不全平行、不交于一点的三图1-4 铰与链杆的关系根链杆或一个单铰和一根链杆等。图1-4(c)所示的延长线相交的两根链杆使得它们所连接的刚片在当前位置只能发生绕O点的转动，其作用相当于在O点的一个单铰，称其为虚铰 (virtual hinge) 。相对于虚铰，图1-4(a)所示单铰称为实铰。但是虚铰和实铰也是有区别的，实铰的转动中心是固定的，虚铰的转动中心不一定是固定的，因此虚铰也称为瞬铰，只是瞬间相当于在此处有铰的作用。
图1-5 刚结与链杆的关系
1.1.4 必要约束、多余约束
根据对自由度的影响，体系中的约束可分为两类： 
 (1)  除去该约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为必要约束 (necessary constraint) 。图1-6(a)中的体系除去A支座水平链杆后，原来的体系变为图1-6(b)所示的可变体系，因此A处水平链杆是必要约束。
 (2)  除去该约束后，体系的自由度不变，这类约束称为多余约束 (superfluous constraint) 。图1-6 (a）中的体系，除去竖向链杆C后，变成图1-6 (c）所示体系，自由度不变，因此链杆C是多余约束。
图1-6 多余约束和必要约束
在有多余约束的体系中，哪些约束是多余约束并不唯一。例如在图1-6 (a) 所示体系中，若将B、C链杆看作必要的，则A支座竖向链杆是多余的；若将A处竖向链杆与B链杆看成必要的，则C链杆就是多余的。
若一个几何不变体系中无多余约束，则称其为无多余约束几何不变体系。反之称为有多余约束几何不变体系. 
1.1.5 静定结构、超静定结构 
几何不变体系在荷载作用下可维持平衡，从而可作常规结构使用。当仅由静力平衡方程即可确定全部约束力和内力时，称为静定结构(statically determinate structure)。反之，不能全部确定的称为超静定结构(statically indeterminate structure). 
一个结构是静定结构还是超静定结构与其是否有多余约束有关。
一个无多余约束的平面几何不变体系在任意荷载作用下，若取体系中的每个刚片作为隔离体，则可建立的独立的平衡方程的个数为3×N(N为刚片数)；体系中的约束数为3×N，则约束力数与独立的平衡方程数相同，约束力可确定。约束力确定后，利用截面法由平衡方程可确定内力。因此，无多余约束的几何不变体系是静定结构，如图1-7 (a）所示。
有多余约束的几何不变体系中的约束数多于可建立的独立平衡方程的个数，仅由平衡方程不能确定所有约束力。因此，有多余约束的几何不变体系是超静定结构，如图1-7 (b）所示。
图1-7 静定结构与超静定结构
静定结构与超静定结构的受力分析方法不同，在对结构进行受力、变形分析时，首先应该确定它属于哪种结构。而这个问题可由结构的几何组成分析来确定。
1.2 静定结构的组成规则
静定结构是构成超静定结构的基础，在静定结构上增加约束即可构成超静定结构。熟练掌握静定结构的组成规则，不仅可以确定一个结构是静定结构还是超静定结构，而且也可以确定超静定结构中哪些约束是多余的。后一点是第4章介绍的力法分析过程中的关键一步。
1.2.1 静定结构组成规则
众所周知，当三条边能组成三角形时，此三角形形状是唯一的，这是静定结构组成规则的基本出发点。由此基本点出发，可得如下构造静定结构的规则（统称为三角形规则）. 
规则1 三刚片规则
三个刚片用三个不共线单铰两两相连可组成一静定结构。根据这一规则可构造出如图1-8 (a) 、 (b) 、 (c）所示的静定结构。它们统称为三铰结构. 
图1-8 三铰结构
需要注意的是：  
 (1)  刚片的形状是可以任意转换的，例如图1-8 (c）组成的虚铰。
 (2)  若三个铰共线但不重合，为瞬变体系，如图1-1 (d）所示。
规则2 两刚片规则 
将三刚片规则中的任意一个刚片替换成杆，即可变成两刚片规则。规则的叙述改为： 两个刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆相连可构成静定结构。
根据这一规则构造出的静定结构如图1-9(a)、(b)、(c)所示，称为单体或联合结构；当刚片为一直杆时称为梁式结构。 
图1-9 单体结构
需要注意的是： 
 (1)  当进一步将铰链用两链杆代替时，规则叙述改为： 两个刚片用三个既不平行也不交于一点的链杆相连构成静定结构，如图1-9 (b) 、 (c）所示。
图1-10 瞬变体系
若链杆延长线通过铰，则所组成的体系为瞬变体系。图1-10所示体系即为瞬变体系。
 (2)  对两刚片三杆的情况，请读者自行分析不满足既不平行也不交于一点时的结论。
规则3 二元体规则
定义:  在体系上用两个不共线链杆或刚片铰结可生成一个新的结点，这种产生新结点的装置称为二元体，如图1-11 (a）所示。图1-11 (b）因为不符合上述定义条件，因此不是二元体。
图1-11 二元体和非二元体
基于二元体的定义，二元体规则可叙述为： 在任意一个体系上加二元体或减二元体都不会改变体系的可变性。这可如下理解： 如果体系是不变的，则将二元体的两杆视为刚体，在体系上加二元体后，由三刚片规则可知，新体系一定是不变的。而如果体系原来就是可变的，原体系的自由度大于零，因为在其上加二元体增加了一个铰结点和两根链杆，并不能减少增加后体系的自由度（一点二个自由度，两根链杆剥夺两个自由度），所以新体系仍然自由度大于零，仍然可变。减去二元体情况与此类似。
利用二元体规则，可在一个按上述规则构成的静定结构基础上，通过增加二元体组成新的静定结构，如此组成的结构称为主从结构 (principal and subordinate structure)  或基附型结构。最先构建的基础静定部分称为主结构或基本部分 (essential portion) ，后增加的二元体部分称为从结构或附属部分(subsidiary portion)。图1-12所示结构均为主从结构。需要指出的是，此类结构的组成有先后次序，如图1-12  (a）所示结构，先构造ABC，然后加上DEF，前者是基本部分，后者则为附属部分。
图1-12 主从结构
1.2.2 组成分析举例 
例题1-1 分析图1-13(a)所示体系的几何组成。
图1-13 例题1-1图
解:  图1-13(a)所示体系可视为在图1-13(b)所示几何不变体系的基础上，如图所示逐次增加两个杆（二元体） 构成。当然也可按在原体系上依次撤除二元体，得图1-13 (b）所示几何不变体系。按规则3可知其为无多余约束的几何不变体系，是静定结构。
结论:  分析时若能找出二元体并将其去掉，则会减少杆件数量，从而降低分析的难度。
例题1-2 分析图1-14(a)所示体系的几何组成。
解:  将原体系的支座去掉，得图1-14(b)所示体系。显然，若它几何不变，则由两刚片规则可确定原体系不变；若几何可变，原体系也为几何可变。图1-14(b)所示体系用减二元体规则去除二元体后可得图1-14(c)，到此已可看出是具有一个自由度的几何可变体系。所以原体系是具有一个自由度的可变体系。
图1-14 例题1-2图
若要使其成为无多余约束的几何不变体系，需要增加一个约束。例如可在A、B两点间加一个链杆，或在C点加一个竖向链杆（如图1-14 (d）所示），它们都可构成静定结构。但如图1-14 (d）所示体系用前述“三角形”规则就不能判定了，要用其他方法来判定。
结论:  当体系与基础间仅用一个铰和一根不通过铰的链杆，或三根不交于一点、不全部平行的链杆相连时，只需分析去掉基础后的部分。习惯上称为分析体系的内部可变性. 
例题1-3 分析图1-15(a)所示体系的几何组成。
图1-15 例题1-3图
解:  将折杆AD看成链杆，其约束作用与连接A、D两点的直链杆相同，用直链杆代替后如图1-15(b)所示。二刚片三杆相连，三杆交于一点F构成虚铰，故原体系为瞬变体系。
若将B点链杆换成水平链杆，则可使原体系变为静定结构，当然还有其他多种选择可使原来的可变体系变为静定结构。
结论:  在分析中有时需要把与其他部分仅用两个铰相连的刚片以一根链杆代替，从而可使分析过程简化。
例题1-4 分析图1-16(a)所示体系的几何组成。
解:  利用例题1-2的结论将图1-16(a)所示体系除去支座后，得到图1-16(b)所示体系，这一体系可视为刚片AB, CD用四根链杆（相当于两个单铰） 相连，因此，原来的体系为几何不变体系，且有一个多余约束，为超静定结构。
图1-16 例题1-4图
在第4章力法中，需将超静定结构通过解除多余约束改造成静定结构（需注意： 只能通过解除来实现，不能给它增加原来没有的约束）。对于本例，改造成静定结构时需要除去一个多余约束。在1.1.4节中已指明，将哪一个约束看成多余约束并不唯一，例如除支座链杆以外的任意一根链杆均可看成多余约束；去掉一个链杆后，即可得到一个静定结构。若在AB杆中E截面加一个铰（如图1-16 (c) ）所示，即将刚结点变成铰结点，相当于解除一个约束（见图1-5 (b) ，解除铰E两侧截面发生相对转动的约束）。由于E点可在AB杆中任取，原结构通过解除多余约束化成静定结构的方案也就有无穷多种。
思考题
1. 无多余约束几何不变体系（静定结构） 三个组成规则之间有何关系？
2. 实铰与虚铰有何差别？
3. 试举例说明瞬变体系不能作为结构的原因。接近瞬变的体系是否可作为结构？
4. 平面体系几何组成特征与其静力特征间关系如何? 
5. 作平面体系组成分析的基本思路、步骤如何？
6. 构成二元体的链杆可以是复链杆吗？
7. 超静定结构中的多余约束是从何角度被看成是“多余”的？
习题
1-1 分析图示体系的几何组成（图(c)为分析内部可变性）. 
习题1-1图
1-2 分析图示体系的几何组成（图（c）为分析内部可变性）. 
习题1-2图
1-3 将图示超静定结构通过适当减除约束改造成静定结构(不少于三种选择). 
习题1-3图
1-4 对于图示静定结构，分析其组成顺序（也即找出基本部分和附属部分、附属关系）. 
习题1-4图

第2章 静定结构受力分析
静定结构的受力分析，将在理论力学的隔离体受力分析和材料力学建立杆件内力方程作受力分析的基础上，确定各类平面杆系结构由荷载所引起的弯矩、剪力和轴力的变化规律--内力图。主要是应用结点法、截面法和内力与荷载间的平衡微分关系等知识。这些在理论力学、材料力学中已经学过的基本理论知识如果有所遗忘或还不够熟练，必须及时复习、巩固。否则，将会给今后的学习带来困难。
2.1 弹性杆内力分析回顾
2.1.1 材料力学内容回顾
材料力学中关于杆件内力分析的要点有： 
 (1)  内力符号规定： 轴力FN，拉为正，压为负；剪力FQ使截开部分产生顺时针旋转者为正，反之为负；梁的弯矩M使杆件产生上凹者为正（也即下侧纤维受拉为正），反之为负。
 (2)  求内力的方法--截面法： 用假想截面将杆件截开，以截开后受力简单部分为平衡对象（也称为隔离体, isolation bodies）并分析其受力，最后列平衡方程求得内力。
 (3)  直杆平衡方程（也称为微分关系）:  取微段dx为隔离体如图2-1所示，假设其上受有轴向分布荷载集度p(x)、横向分布荷载集度q(x), 图2-1 直杆段受力示意在给定坐标系中它们的指向与坐标正向相同者为正。考虑微段的平衡，通过建立∑Fx=0、∑Fy=0和∑M=0可得dFNdx=-p(x),  dFQdx=-q(x),  dMdx=FQ
  这就是直杆段的平衡微分关系。
 (4)  内力图绘制方法： 利用截面法确定杆件控制截面上的内力，应用微分关系确定控制截面之间内力图的正确形状。常用的微分关系的结论如下表： 荷载情况剪力情况弯矩情况1直杆段无横向外荷载作用剪力等于常数弯矩图为直线（当剪力等于零时，弯矩为常数）2横向集中力作用点处剪力产生突变弯矩图斜率发生改变3集中力偶作用点处剪力不变  弯矩图产生突变4铰结点附近（或自由端处）有外力偶作用铰附近截面（或自由端处）弯矩等于外力偶矩值5弯矩图与荷载方向关系弯矩图凸向与荷载（集中力或均布荷载）方向一致   (5)  叠加法的应用： 小变形情况下，复杂荷载引起的内力，可由简单荷载引起的内力叠加得到。
2.1.2 一些应熟记的单跨梁内力图（如图2-2) 
2.1.3 结构力学与材料力学内力符号规定的异同
结构力学中对内力的一些规定和材料力学规定既有相同的，也有不同的，为便于后面的学习，读者需要注意这些区别。
(1) 轴力和剪力的正负号规定与材料力学一样，也即轴力拉为正，剪力使截面顺时针转动为正。
(2) 结构力学弯矩图必须画在杆件纤维受拉的一侧，弯矩图上不标正负号(由于结构中杆件有竖向的和斜向的，像材料力学那样规定杆件一侧受拉为正已无法表示，而杆件纤维受拉侧是唯一的). 
图2-2 单跨梁内力图
2.2 静定结构的内力分析方法
静定结构有多种，受力性能也不一样，但应用截面法和平衡方程，是分析所有静定结构内力的基础。
2.2.1 静定结构内力分析方法
静定结构内力分析问题可以仅利用平衡条件解决，但各种不同结构受力性能不同，因此分析的具体内容也有所不同。但以下三个方面却是共同的。
 (1)  基本原则： 循着结构组成的相反顺序(例如图2-3 (a）可按B、5、G、4、F、…顺序)，逐步应用平衡方程。
 (2)  基本思路： 首先定性分析是否可能使问题简化，然后求支座反力，并根据所要解决的问题，选取合适的结点或截取结构部分（例如图2-3 (b) 、 (c）所示） 作为平衡对象--隔离体，最后由平衡条件求得问题的解答。
 (3)  基本方法： 应用截面法（包括截取结点），也即切取隔离体画受力图，列平衡方程求未知力。
图2-3 静定结构内力分析的三个方面
上述三个方面的内容可用图2-3来说明，图中√表示力已知。取结点时由图2-3(b)列水平和竖向投影平衡条件∑Fx=0, ∑Fy=0可求未知轴力，截取隔离体由图2-3(c)对B、F、3等点列力矩平衡条件可求未知轴力。
2.2.2 支座反力（或约束力） 计算方法 
利用静定结构的几何组成特点，可以得到如下支座反力或约束力的计算方法。
 (1)  二刚片型结构
二刚片型静定结构有两种： 一种是一铰一杆相连（如图2-4 (a）所示），另一种是三杆相连（如图2-4 (b）所示）。由于刚片间都是三个联系（例如将II看为地基，对应三个支反力），因此选取隔离体的原则是： 将刚片之间的三个约束切断，取一个刚片作为隔离体（如图2-4(c)、(d)所示）. 
图2-4 二刚片隔离体示意图
反力可由如下平衡方程（一矩式） 求得： ∑Fx=0,  ∑Fy=0,  ∑M=0也可用二矩或三矩式，目的是尽量使一个方程只含有一个未知力，以避免解联立方程。
 (2)  三刚片型结构
三刚片型静定结构为： 每两个刚片间都有一个铰（或虚铰） 相连，如图2-5 (a) 、 (b）所示。若将III视为地基，为求反力，应该用截面法从铰处切断。取任意刚片为隔离体时，都将切断四个约束（拆开两个铰或切断虚铰的链杆），一个隔离体独立的平衡方程只有三个，不可能求出四个约束力，为此需要再截取一个新的隔离体。
为减少联立方程个数，例如先求B处两个约束力，首先用1-1截面取I刚片作隔离体，如图2-5 (c）所示。对A点取矩列力矩平衡方程： ∑MA=0(a)再用2-2截面取包含B铰的另一个刚片作隔离体，如图2-5 (d）所示。对C点取矩，列力矩平衡方程： ∑MC=0(b)方程(a)、(b)中的未知量都是B铰约束力FBx、FBy，因此联立求解可得FBx、FBy. 
有了FBx、FBy，如图2-5(c)和(d)所示其他铰处的约束力即可用投影或对B点取矩求出。
图2-5 三刚片隔离体示意图
对有无穷远虚铰情况，不能列力矩平衡方程，而要列投影平衡方程。因为不论什么情况都必须用两个截面取两个隔离体，因此该种方法也称为双截面法. 
2.3 桁架受力分析2.3.1 桁架结构  如图2-6所示，一些杆轴交于一点的工程结构经合理抽象简化后，其计算简图都可化成“只受结点荷载作用的直杆、铰结体系”，称为桁架结构 (truss structure) ，其受力特性是结构内力只有轴力，而没有弯矩和剪力。
图2-6 桁架结构实例
桁架结构可有多种分类：  
 (1)  简化后简图中各杆件轴线位于同一平面的称为平面桁架 (plane truss) ，否则为空间桁架 (space truss) 。图2-6(a)所示桁架为平面桁架；图2-6(b)所示为空间桁架。
 (2)  根据结构组成规则，若属先组成三角形，然后由加二元体所组成的桁架，则称为简单桁架 (simple truss) ，如图2-7(a)所示。由几个简单桁架按二、三刚片组成规则构造的静定结构，称为联合桁架 (combined truss) ，如图2-7(b)所示。除这两类以外的其他桁架，称为复杂桁架 (complicated truss) ，如图2-7(c)所示。
图2-7 桁架组成分类
桁架还可按外形特点进行分类，有所谓平行弦、梯形、折线型、抛物线桁架等，这里不再赘述。
2.3.2 结点法
以桁架的结点作为隔离体时，结点承受汇交力系作用。因为简单桁架是由加二元体所组成，所以当遵循按“组成相反顺序”的求解基本原则逐次建立各结点的平衡方程时，桁架各点未知内力数目一定不超过独立平衡方程数。据此，可求得桁架各杆内力。这种方法称为结点法 (method of joint) . 
例题2-1 图2-8(a)为一个施工用托架计算简图，是简单桁架。求图示荷载下各杆的轴力。
解:  (1) 此简单桁架的几何组成顺序可看作： 在刚片BGF上依次加二元体得E、D、C、A结点，因此结点求解顺序为A、C、D、…。当然这不是唯一的组成和求解顺序。
(2) 该桁架的支座反力只有3个，因此取整体作为隔离体，利用平衡条件就可求出全部支座反力。对支座结点B取矩，列∑MB=0得 FAy×4.5m-8kN×4.5m-8kN×3m-6kN×2.25m-8kN×1.5m=0得FAy=19kN. 
再列竖向投影平衡方程∑Fy=0得FAy+FBy-8kN-8kN-6kN-8kN-8kN=0代入FAy整理得BBy=19kN. 
最后由水平投影方程∑Fx=0得FAx=0. 
图2-8 施工用托架求解过程
实际上，由于水平反力为零，该托架和荷载都对称，因此竖向支座反力等于荷载合力的一半，结果显然与上述计算完全相同。
(3) 按照求解顺序取图2-8 (b）结点A作隔离体，列∑Fy=0有： FNAD×0.5m(0.5m)2+(1.5m)2-19kN+8kN=0整理后可得 FNAD=34.8kN. 
由平衡条件∑Fx=0, 可得FNAC=-FNAD×1.5m(0.5m)2+(1.5m)2=-33kN  
(4) 再取结点C作隔离体如图2-8(c)，列∑Fy=0有FNCD+8kN=0整理可得 FNCD=-8kN。
列平衡方程∑Fx=0, 可得
FNCE=-33kN. 
(5) 接着取结点D作隔离体如图2-8(d)，列∑Fy=0有 FNDE×0.5m(0.5m)2+(0.75m)2
+FNDA×0.5m(0.5m)2+(1.5m)2-8kN=0将FNDA代入上式整理后可得FNDE=-5.4kN.   
列平衡方程∑Fx=0, 可得