前 言
设X∈Mm×n(即X为m×n矩阵),Yp×q(即Y为p×q矩阵),熟知,普通的矩阵乘法MN(也称矩阵的标准积)只有当n=p时才有定义。矩阵的半张量积是矩阵标准积的一种推广,它对一般的n和p亦可定义两矩阵的乘积,而当n=p时,它与标准积一致。
要使这种推广具有生命力,以下三个条件应当是必不可少的: ①运算本身应十分简洁。如果运算规则复杂,它就难以得到推广和广泛应用。②推广后的运算应保持原有矩阵标准积的基本性质。如果原矩阵乘法的一般性质都被破坏了,或者被搞得面目全非,那么,从理论上说,它不能称为一个真正意义上的推广。③它应当有广泛的应用,而这些应用是现有理论难以解决的，否则,它只能是一种数学游戏。
由我国著名控制专家、中国科学院程代展教授独创的矩阵的半张量积方法完全满足以上三个条件,因此,它正日益得到同行的认可,并在不同的领域得到越来越多的应用。
本书的目的是向读者介绍矩阵的半张量积(以下简称半张量积)及其在电力系统的应用。回顾历史,不能不感叹我的幸运,我有幸先后成为程代展教授和卢强院士的学生,而他们正是在控制科学和电力系统领域具有重要影响的两位大家。近三十年来,也正是他们卓有成效的合作,先后在电力系统分析与控制领域铸就了两个里程碑式的工作: 一是电力系统非线性控制理论,二是电力系统半张量积方法,因此可以说半张量积方法和电力系统有不解之缘。先从非线性系统的几何理论谈起。用微分几何方法研究非线性控制系统起源于20世纪70年代,它使非线性系统的控制理论得到突破性的进展。20世纪80年代初,卢强院士到美国华盛顿大学作访问教授,当时程代展教授在该校攻读博士学位。那个时候的华盛顿大学系统科学与数学(SSM)系是美国非线性系统几何理论及其应用的研究中心之一。著名的意大利非线性控制专家 A. Isidori教授在那里讲授非线性系统几何理论课。他的名著Nonlinear Control Systems［1］就是以他当时的讲稿为基础补充完成的。其时,几何专家 W.M. Boothby教授也在华盛顿大学讲授微分几何,用的讲义就是他的专著An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Boothby教授自己也研究几何控制问题。除这两位学者以外,系里教授中从事非线性控制系统几何理论研究的有程代展教授的导师T.J. Tarn,还有D.L. Elliott,M.A. Shayman等。值得一提的是,M.W.Spong, R.Su, R.Marino, W.P.Dayawansa, Y.Chen, X.Yun等后来在非线性几何理论及应用做出突出贡献的专家,都是SSM系的学生。特别是20世纪80年代SSM的系主任J.G.Zaborszky院士,他是电力系统专家。他带领学生G.Huang等将微分几何方法用于电力系统控制,取得了一批出色的结果［2］。卢强院士也是与Zaborszky合作,从那时开始他的电力系统微分几何控制理论研究的,他与程代展教授当时就有过许多交流和讨论。程代展教授回国后,在卢强院士的支持和鼓励下,于1988年出版了《非线性系统的几何理论》［3］.
前 言电力系统暂态分析中的半张量积方法电力系统是典型的非线性系统,卢强院士是国际上最早将非线性系统的几何理论应用于电力系统控制的专家之一,也是目前国内外学术界公认的电力系统非线性控制学的集大成者。20世纪90年代中期,他与其指导的研究团队系统地创立了一套电力系统非线性(微分几何)控制理论［4］,并成功应用于实际电网,取得巨大的社会经济效益。虽然微分几何方法在理论分析方面十分有力,但在计算上十分复杂,不易于计算机实现,这为实际应用带来了许多困难。为了进行电力系统中大量的非线性计算,特别是微分几何理论中所大量使用的Lie导数运算,卢强院士与程代展教授等经多次讨论,意识到有可能通过对矩阵运算的推广使之适用于多线性映射计算,而非线性光滑函数总可以用多线性映射任意逼近。因此,推广矩阵运算,使之适用于电力系统微分几何控制理论中所需要的非线性计算成为一个理论上富有挑战性,又有迫切工程需求的课题。在国家自然科学基金委员会电工学科与自动化学科的共同支持下,他们申请交叉重点项目“电力系统非线性鲁棒稳定控制代数化几何方法及工程应用”并获立项支持,而电力系统分析与控制中的半张量积方法正是该项目的研究重点之一。该研究在随后卢强院士为首席科学家的“973”项目“我国电力大系统灾变防治和经济运行的重大科学问题的研究”(No. G1998020300)中得以深入开展,并得到突破性的进展。
作为半张量积理论的开拓者和奠基者,除电力系统领域外,程代展教授还进一步将半张量积方法应用于逻辑推理、微分几何计算及Lie代数结构分析、一般非线性系统非正则线性化及对称性研究等问题。程教授是我的老师,20世纪90年代我在中国科学院攻读博士学位时即受益于他的教诲。近年来,有幸继续在他的指导下工作。程教授思维敏捷、视野开阔，不仅是一位享誉海内外的控制学专家,更让我钦佩不已的是他卓越的数学才华,可以说这是他硕果累累的主要源泉。我本人也是数学出身,二十多年前即系统地学习过微分几何,不想多年以后从事科学研究工作的一个重点竟是非线性系统几何理论及电力系统应用。多年浸淫其间,总以为自己也算是一个微分几何“专家”。九年前的一个学术讨论会“击碎”了我的良好感觉。当时程教授做“非线性系统的代数化几何方法”学术报告。他以向量场入手,以一架飞机的东西南北闭环飞行轨迹为例完整清晰地阐述了向量场乃至微分流形的几何意义,进而解释李导数、李括号,直至李代数、李群。他的演讲如行云流水、高屋建瓴,既无一般数学演讲的晦涩艰深,亦无常见科普宣传的泛泛空谈。听了他的报告,我自以为对微分几何乃至几何与拓扑学的理解有了一个质的飞跃。应该说,只有高深数学造诣并对实际工程或者物理问题有深刻洞察力的大学者才能如此作为。程教授正是这样一类学者,而本书也正是他所创立的半张量积理论在电力系统应用成果的提炼和集成。不仅如此,作为理论基础的本书前4章直接出自他的研究成果,行文更得益于他的点化,读者可从中欣赏程教授横溢之才华。
本书各章的主要内容如下: 第1章是绪论,扼要地介绍半张量积理论和电力系统暂态稳定分析问题。第2章讨论半张量积基础。由于本书主要用到的是左半张量积,故该章着重介绍左半张量积。第3章讨论多元多项式及其微分的半张量积表示形式,它是半张量积处理非线性问题的基础。第4章应用半张量积方法分析多项式系统的稳定性。第5章主要讨论动态系统稳定域边界的子流形计算问题,分别给出了1型和k型不稳定平衡点的稳定子流形多项式近似表达式。第6章讨论电力系统暂态分析问题和相应的数学模型,主要介绍电力系统暂态问题的由来及分类,并给出研究稳定性问题所需要的发电机、输电网络及负荷等电力系统主要元件的动态模型,在此基础上提出一种电力系统主导不稳定平衡点的综合求解法。第7章讨论半张量积方法在暂态功角稳定中的应用,提出网络约化情形下的电力系统暂态功角稳定裕度指标计算方法,给出电力系统故障临界切除时间及相应的动态安全评估方案。第8章讨论半张量积方法在暂态电压稳定中的应用,主要提出电力系统暂态功角稳定和电压稳定的界定方法并依此给出暂态电压稳定判据。第9章从非线性几何动力学的角度出发,首先建立了一个统一的大扰动后中长期电压稳定分析模型,进而提出中长期电压稳定判据及稳定评估方法。第10章基于半张量积方法建立了一般非线性系统的近似多项式表示模型,给出了近似系统与原非线性系统拓扑等价的严格数学证明,进一步提出了利用近似多项式系统研究原系统稳定性的方法并将其应用于电力系统暂稳分析,这是一种新的稳定性研究思路。第11章讨论动态安全域的边界计算问题,分别给出了动态安全域的数学表达式及几何性质、局部边界的隐式表达式以及灵敏度的计算方法；进一步研究了裕度型动态安全域,提出了基于稳定域边界的暂稳裕度指标、基于安全域边界的暂稳裕度指标,深入讨论了这两类指标在故障排序及暂态稳定评估中的应用问题,最后讨论并提出了可给出暂态稳定裕度的裕度型安全域方法。第12章主要研究动态安全域的应用,提出了暂稳约束下的ATC计算方法,暂稳约束下的最小发电机成本调度方法,给出了电力系统预防控制策略的设计方法。
我深信,电力系统分析与控制的半张量积方法将是一个全新的理论和极具实用前景的有力工具。她是如此的年轻,以至于到处都是待开垦的处女地。希望更多的专家,特别是年轻学者加入半张量积方法研究努力开拓发展这一新领域。
本书在全面总结该领域国内外研究成果的基础上,重点介绍了近年来作者承担国家杰出青年基金项目(No. 50525721)、国家自然科学基金重大项目子课题一(No. 50595411)和国防“973”项目等有关课题所得的最新研究成果。在项目研究和本书写作过程中,得到了香港大学Felix F Wu教授和倪以信教授、华中科技大学程时杰院士的热情帮助。程时杰院士认真审阅了全稿并欣然为本书作序。本书所涉及的部分内容,包括华北电力大学马进博士,清华大学电机系研究生叶俭、王义红和孙玉娇等刻苦研究的成果，在此一并向他们表示感谢。
清华大学出版社特别是张占奎老师对本书的出版给予了宝贵的支持和帮助,谨借此机会表达深切的谢意。
最后,我谨向卢强院士多年来对电力系统半张量积方法研究的支持和指导深致谢意。
