前言

矩阵作为现代科学研究的基础性工具，其应用价值贯穿数学理论与工程技术两大领域。

在理论层面，它与数值分析、最优化理论等数学分支深度耦合；在工程实践中，其作用主

要涵盖三大领域：智能技术（深度学习、神经网络）、信息工程（数字信号处理、通信理

论）、系统科学（运筹论、控制论）。这种跨学科渗透性使其在随机过程建模、管理科学等交

叉学科中同样发挥着关键支撑作用。许多新的理论、方法和技术的诞生与发展就是对矩阵

论的创造性应用与推广的结果。在工程学科研究生培养体系中，矩阵理论的学习呈现双重

核心价值：其一，作为现代工程技术的基础语言，它系统建构研究生的数学建模能力与计

算思维；其二，其方法论特质显著提升了三大核心能力维度——抽象结构的几何化表达能

力（特征分析/张量运算）、复杂系统的代数化处理能力（矩阵分解/谱分析）、工程问题的

算法化翻译能力（数值计算/最优化）。这种独特的数学工具不仅塑造了工程思维范式，更

是人工智能、信号处理等前沿领域的创新基石。

矩阵理论作为兼具数学思想体系与方法论特征的学科分支，在理论完整性与应用广泛

性上展现出独特价值，其发展始终遵循数学理论自身的内在完备性追求与实际工程需求的

持续驱动。当前教学实践面临一定的结构性矛盾：其一，现有教材内容同质化现象严重，虽

涵盖经典理论却普遍忽视非数学专业学习者的认知梯度，导致理论深度与工程需求错位；

其二，知识体系构建存在应用性断层——应用价值显著的实用矩阵方法常因理论深度不足

而被简化处理，而某些艰深理论成果因缺乏实际应用场景而成为教学冗余。针对这一现状，

本书在理论方面建立由浅入深的概念拓扑网络，在应用方面打造“问题驱动—方法解析—

工程实现”的认知闭环。通过精准锚定理论严谨性与工程适用性的平衡点，形成既满足数

学学科规范性要求，又契合工程技术思维模式的矩阵理论教学体系。

第1 章在复习线性代数中涉及的矩阵理论基础上，介绍了矩阵求逆引理和矩阵满秩分

解等概念和计算。在介绍线性映射时，不仅限于线性变换，因为矩阵一般情形下不一定是

方阵，矩阵可以看作线性映射的代数表示，因此在第2 章讨论了线性映射的基本理论，以一

般线性空间与列向量空间整体间存在可逆映射为基础，而一般的微分流形仅能与列向量空

间的局部区域建立可逆映射，从而线性空间是特殊的流形，进而与微分流形建立联系。为

了理解深度学习中的卷积网络和U-Net 模型中涉及的卷积算子和反卷积算子，在第4 章欧

几里得空间中引入线性映射及共轭，它们的矩阵表示之间存在转置关系。在第5 章讨论了

快速吉文斯变换的基本思想和算法以及复吉文斯变换; 针对矩阵填充方法讨论了奇异值分

解的最优低秩逼近性。在第6 章，考虑到目前很多教材中矩阵广义逆是由矩阵方程组定义

的，为广义逆的理论和计算方法带来很大的困扰，为此我们补充了基于矩阵等价标准形的

通解形式，使得一些抽象的推导过程简化为计算过程，从而降低了工科学生的理解难度。在

第7 章的矩阵范数中，引入了对偶范数的概念，并且针对稀疏信号处理中的矩阵核范数讨

论了它和谱范数的对偶关系。在第8 章矩阵分析中的向量微分和矩阵微分，目前的教材从

数学学习的观点出发，仅仅将它看成一种在形式上对多元函数微分的推广，而没有考虑其

在深度学习等领域中实际所需的计算公式与方法，难以直接指导复杂模型梯度的计算与优

化。我们不仅给出了矩阵导数的代数形式与微分形式，还以深度学习中的前馈神经网络为

例，详细推导了误差反向传播算法的具体公式，从而阐明了求解矩阵导数的通用过程。在

第9 章矩阵直积中介绍了矩阵的直积分解公式，它是目前图像分片特征提取的数学基础。

本书聚焦电子技术与智能技术的核心需求，重构矩阵理论的教学内容体系。一方面，精

选来自机器学习、信号处理等领域的实用矩阵算法与案例，强化理论与应用衔接；另一方

面，突出矩阵分析在深度学习、系统建模中的创新应用。通过这一体系，学生既能掌握智

能技术的数学原理，又能运用矩阵工具进行算法优化与技术创新，为他们今后从事前沿技

术研发奠定坚实的数学基础。

本书受中国科学院大学教材出版中心资助。

作者

2026 年3 月