前言

数学是映射科技进步的宏伟殿堂，趣味数学则是其中一间充满趣与美的雅室。

计算机是现代科技发展的里程碑，程序设计则是一把开启成功之门的金钥匙。

2002年在北京国际数学家大会（ICM 2002）期间，数学大师陈省身先生为青少年朋友题词写下“数学好玩”四个大字。英国数学家罗素说过：“数学，不但拥有真理，而且也具有至高的美，一种冷而严肃的美。”

当你走进趣味数学这间雅室，就会在亲身体验“数学好玩”的同时，领悟数学的“趣”，感受数学的“美”：逻辑美与结构美、自然美与抽象美、对称美与离散美、和谐美与奇异美，美轮美奂！美不胜收！让你在趣的感悟与美的陶醉之下，萌发出融入数学“趣”的梦境，涌动着发掘数学“美”的冲动。

趣味数学好玩，编程拓展赋能。这两个深受当代青少年朋友喜爱和追捧热点的交汇融合，是信息时代深入的必然，是学科相辅相成的典范，更是广大读者期盼的水到渠成。

处于信息社会的今天，趣味数学须适应时代潮流不断充实新的养料、注入新鲜血液，与时俱进向纵深发展。计算机的广泛普及与程序设计的全面推广，为趣味数学带来拓新与勃发的春天。同时，趣味数学也为程序设计应用提供全方位拓展的广阔而生动的舞台。

爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师，它可激发人的创造热情、好奇心和求知欲。”趣味数学蕴含“趣”与“美”，编程拓展彰显“广”与“深”，逐步把原有问题的趣与美拓展到更为广阔的境界与更加深邃的层次，以培养与提升我们的创新意识与开拓能力。

程序设计作为智能开发利器，对数学猜想实施编程验证无可厚非。但如果仅仅停留在验证这一环节却远远不够，有必要发挥这一利器的无限潜能，开发与光大趣味数学的趣与美，并试图探索与发掘出新的数学瑰宝。

事实上，很多著名数学经典都是由一些简单案例经引申、提炼与拓展而成的。可以说，任何复杂系统都可以追溯到一个简单的原型，而许多看似浅显的问题都可能拓展融入更为广阔、深奥的境界。

例如，对于“雷劈数 3025=(30+25)2”这一简单原型，通过编程拓展至多位，如：

20408122449=(20408+122449)2

在多位基础上再拓展至“多段和”，如（下式就是14位3段和平方式）：

71484522341904=(714+8452234+1904)2

在多位与多段和基础上进一步拓展至“多次幂”，如（下式就是16位6段和四次幂式）：

9482362704875776=(94+8236+270+487+5+776)4

拓展就是创新！以上对雷劈数原型的“三多”拓展，单纯依赖人工冥思苦想与繁复计算是无法胜任的，充分说明在趣味数学与时俱进的发展进程中，编程拓展不可或缺。

本书精选与拓新百余个趣味数学问题，包括神奇整数探求、精巧数式发掘、多彩数列汇集、几何优化展示、数形结合欣赏、新颖数阵构建、智力游戏揭秘等，著名经典与新颖独创并存，巧妙探求与编程拓展同在，内容丰富，趣美并茂，深入浅出。

本书精华内容如下。

著名经典： 集中探讨欧几里得辗转相除法、兰德尔数、完全数、雷劈数、欧拉表达式与勒让德表达式、哥德巴赫猜想、梅齐里亚克砝码问题、猴子分桃、水手分椰子、贝祖定理、佩尔方程、三角形费马点、泊松分酒、拉马努金嵌套平方根式、伯努利装错信封问题、德布鲁金环、杜登尼省刻度尺、约瑟夫出圈、杨辉三角、莱布尼茨三角、高斯八皇后问题、马步遍历、哈密顿圈、洛书与幻方等，共106个古今中外趣味数学问题。

新颖独创： 推出逆序倍积式、优美对称综合运算式、双和与和积不定方程、0\|1串积与多码串积、优美数序列与连写数序列、智能甲虫安全点、根号嵌套根式、矩阵最大子圈、和积三角形、省刻度尺刻度二次分布、双转向增减旋转方阵、单数码平方数、横排左右报数出列、卡普雷卡和幂式、等距平方数、无穷嵌套立方根式、最长马步路径、可带障碍的马步遍历、素数幻方与益智填数幻方等，共88个构思独创的拓新趣题。

题涉范围： 数字、数对、数式、数列、数阵、数形、数游等。

程序： 应用C语言设计164个拓展程序（附完整源代码）。

为方便读者阅读，书中把相关或相近的内容整合为一章，每章围绕一个中心主题展开，各节具有相对独立性。

全书共分10章，本版修订增添了部分新的内容，进行了进一步优化整合，现把各章的内容简介如下。

第1章为神奇整数探求。

该章以古希腊“几何之父”欧几里得的辗转相除法开篇，带领我们领略数学殿堂上各类整数的神奇风韵： 有我们耳熟能详的最大公约数与最小公倍数；有与本身构建数字息息相关的水仙花数、兰德尔数、逐位整除数与单数码方幂数；更有中外数学家们长期研究过的勾股数、长方体数与完全数，琳琅满目，蔚为壮观。

压轴的“六六大顺数”，经逻辑推理层层揭开其神秘面纱——142857，并首次发掘其奇妙的“插9”特性，无疑是神奇整数中的闪光点。

第2章为素数世家风采。

素数是探讨难度最大、研究内容最多的一类奇特整数。在推介搜索素数的试商判别法与厄拉多塞筛法基础上，广泛汇集数学家们提出并正在研究的梅森素数、费马数、孪生素数、欧拉表达式及勒让德表达式、哥德巴赫猜想等显赫“大腕”，也有优美雅致的素数变形金刚、素数等差数列、逆序素数对与对称素数等靓丽“新秀”。

9位逆序素数对“999548999,999845999”与9位对称素数 999727999 可令读者耳目一新，构建精美的“素数和环”与素集“乌兰现象”增添了素数分布的奇特风韵。

素数世家，无愧于“上帝用来描写宇宙的文字”之美誉。

第3章为数式精彩纷呈。

在整数的素因数分解式的基础上，探讨涉及整数的优美变序数和式与倍积式，探索涉及分数的埃及分数式与桥本分数式。从人工打造对称乘积式“36×84=48×63”出发，隆重推出对称四则运行式乃至对称综合运算式。

4^5―81×72÷3＋906＝609＋3÷27×18―5^4

这就是美！工整的结构美与优雅的对称美值得欣赏： 等式左右两边对称分布10个数字、对称嵌入加减乘除及乘方综合运算，从数字到运算符完美对称，精妙绝伦！

第4章为方程经典汇趣。

汇趣有著名的韩信点兵、百鸡问题及羊犬鸡兔问题等古典趣算，也有牛顿“牛吃草问题”与“阶乘零数”等外国经典，古今中外融汇一体。探求具有特色的“整币兑零”、不定方程组与不等式等推理难点的同时，通过“猴子分桃与水手分椰子”的妙思巧解，首次把这两个著名案例联系起来编程拓展。

本章的亮点无疑是应用连分数高精求解 Pell方程 x2-991y2=1的基本解：

x=379516400906811930638014896080 (共30位)

y=12055735790331359447442538767  (共29位)

以此摆平自然界对人类智商的刁难与挑战。

第5章为精巧求解剖析。 

高精计算，是最具吸引力的热点，也是让人望而却步的难点。从互积和、同码数的整除与求和规律探索，到创新建模统计与图形统计等，展现一个“巧”字。探求最小0\|1串积、指定多码串积与尾数前移问题，到多规格万年历的构建凸显一个“精”字。

拓展梅齐里亚克砝码问题、拉马努金嵌套根式与全错位排列的伯努利装错信封问题，精巧并茂，发人深省。

飘逸于数学殿堂的两个“幽灵” e 和π，凝聚数学的博大精深，彰显编程的超凡卓越。

第6章为多彩数列欣赏。

数列、序列与数环，是趣味数学的精华系列。该章汇聚著名的相亲数对与相亲数环、斐波那契序列与德布鲁金环等著名经典，影响深远；新推构思独创的双飞燕、优美数序列、双码2部数序列、指积序列与连写数序列，妙趣横生。

挑剔数列（每对整数m中间夹含m个整数）的构建技巧震惊闪亮！欣赏n=15数列： 

1 2 1 3 2 4 13 3 14 12 4 5 11 15 6 9 10 5 7 8 13 6 12 14 11 9 7 10 8 15

其高超的结构美与分布的奇异美独具魅力，让人折服！

第7章为最优探索展示。

最优设计与最值探求，是最具挑战思维与创新精神的永恒课题。该章汇聚整数分解、填数字中的最优化与条件最值探求，也有构建容积最大容器、优化供水网与探索迷宫最短通道等几何最优设计。

“智能甲虫安全点”把一个久远的竞赛题拓展到广阔时空背景下的最优奇异。重点介绍杜登尼省刻度尺刻度的线性分布并拓展到二次分布。长为17寸（1寸=3.33厘米）的古尺精简到只需5条刻度竟然可完成1～17寸整数长度的完全度量，朴实而生动地展现出最优设计的精妙。

第8章为数形结合出彩。

数在形中，数构成形，数形结合，从“三角形等边平方和”与“等边和积三角形”到立体的“素数面等和立方体”，彰显出数与形相互交融的和谐之美。

平常的数字经精巧构思排列呈现出各种生动的数码金字塔、空菱形与旋转方阵，渗透出数字的灵性之美。通过“数形结合巧求最值”展现数形结合在简化求解上的点化精妙。

构建“全覆盖数码串珠”能达到优雅全覆盖的精妙构思，让我们深受启迪。

第9章为智能游戏探秘。

猜想探索与游戏揭秘是最具吸引力的热点。该章从各类pk游戏到从袋中探取异色球与扑克牌21点游戏的概率探秘，从约瑟夫出圈游戏、硬币行倒面到有深度的硬币矩阵整行列翻转，从汉诺塔游戏、3x+1猜想到移动8数码等智能游戏，让我们流连忘返，回味无穷。

探讨黑洞数495、6174到黑洞圈“53955——59994”，直至多达9位14数黑洞圈的揭示，并进一步拓展到2n位、3n位黑洞数，高深莫测！

第10章为数阵天地大观。 

首次揭示杨辉三角与莱布尼茨三角这两个中外著名三角数阵的内在联系。从影响深远的高斯八皇后问题到一般的n皇后问题，从最长马步路径、马步遍历的搜索到哈密顿圈的构建，再现棋盘上风起云涌的恢宏演绎。

幻方无疑是古今中外雅俗共赏的数学奇葩！从千古洛书到一般n阶幻方、积幻方的巧妙构建，彰显幻方的博大精深。以最小幻和的3阶素数幻方的脱颖而出,到4\|5阶素数幻方的闪亮登场，填补了幻方天地的一方空白，让我们耳目一新，震惊中外。

本书突出以下特色。

（1） 首创探索趣味数学与程序设计交汇融合。

探索传统文明与现代科技的紧密结合。应用编程在广度与深度上拓展趣味数学问题，全方位提升原有问题趣与美的品位，促进趣味数学适应信息时代的深入发展，焕发趣味数学的青春活力。

（2） 注重趣味性与吸引力，精选与拓新趣味数学问题。

广泛涉及数字、数对、数式、数列、数阵、数形与数游，既有引导入门的基础训练，也有复杂高超的综合提升；既有名扬中外的著名经典，也有构思精巧的新颖独创，雅俗共赏，推陈出新。

（3） 注重编程算法引导与设计技巧综合运用。

拓展编程采用功能丰富、应用面广的C语言实现。考虑到读者程序设计基础不一，算法以基本枚举与递推为主，注重算法思路引导，注重分解、整合、转换、求精等技巧的综合运用。编程给出完整代码并详细注释，有利于程序的阅读、调试、完善与变通。

（4） 展示程序运行示例使问题拓展落到实处。

每一趣味数学问题在思路开拓与精巧求解之后，从广度与深度上拓展编程，展示程序运行结果，具体展现原问题趣与美的提升，使读者通过欣赏与比较，加深对拓展的理解，有利于开拓创新思维、开启益智训练、提升数学娱乐兴趣。

在本书构思、创作与修订再版过程中，得到湖南理工大学领导与同行们及清华大学出版社编辑们的热情帮助，得到周持中教授、孙明保教授、严权峰教授、潘理教授、刘永年教授及数学新秀刘学等众多朋友的大力支持，在此一并深表感谢！

本书适合各高等院校、职业院校及中学在校学生阅读，可供程序设计基础不同的广大数学爱好者、程序设计培训人员与相关职场人士学习参考。开卷有益，我相信读者总可以从书中找到自己的兴趣点而有所收益，总能够从自己兴趣点的拓展提升中得到启迪。

趣味数学与程序设计的交汇融合是一个浩大的系统工程。本书仅作为这一工程起步阶段的探索，旨在抛砖引玉。鉴于所涉范围广，书中疏漏之处在所难免，恳请各位读者批评指正。

杨克昌2026年6月于湖南理工大学（岳阳南湖）