前〓〓言

数学是科学领域永远的王，数论则是其王冠.作为纯粹数学的一大分支，数论研究整数的性质.数论的定义是如此简明，内涵却深不见底，正如许多数论猜想的表述一样，在风平浪静的海面之下藏着万丈渊壑.

在人类的一切智力活动之中，最依赖天赋也最需要刻苦的两个领域，或许就是门槛为零而上限通天的数学与文学.数论更是数学内部具有上述特征的分支，它既是无顶绝峰，渊源极古，也是孩童们牙牙学语的第一课，简单得似乎“屈指可数”.数论是常见的，“三下五除二”这个成语蕴含了带余除法； 韩信点兵的故事则运用了中国剩余定理.数论又是罕见的，它鲜有应用价值，是数学中的数学，具有超然的地位.

正因此，在数学竞赛等青睐天才与专才的选拔中，数论的权重极大.作为竞赛的最高殿堂，国际数学奥林匹克竞赛(英文简称IMO)共有6道试题，分两天考查，每天四个半小时，其中通常有一至两道关于数论，甚至可能是一天三道，如2024年第63届IMO的第一天，且数论经常以难题出现，是金银牌的分水岭.作为国内最高等级的中国数学奥林匹克竞赛同样如此.为了能从全国甚至全球的优秀学子中脱颖而出，选手必须拓宽数学视野，掌握数论知识，提高思维水平，体会解题规律.

本书正是基于这一宗旨而写成.笔者深知，在数论方面，有许多名家和前辈的佳作珠玉在前，唯恐自己有负数学，有负出版社的信任，有负诸多支持者的喜爱，因此字斟句酌，呕心沥血，也越写越自信.笔者敢断言，拙作必将成为新的标杆与同类先锋.

本书具有下述四大亮点.

一、 系统全面

全书共分十讲，囊括了初等数论领域几乎所有的重要内容，编排由浅入深，每讲分为本讲概述、知识拓展、典型例题、精选习题四个板块.

本讲概述是对一讲内容的引入与概括，指明关键与重点，内涵与延伸.

在知识拓展部分，笔者严格要求，要做到人无我有，人有我优，保证其广度、高度、深度.例如，第6讲的威尔逊定理，文中介绍了四种经典证法，此外还给出了广义形式.

笔者几乎遍览了近几十年国内外的数论真题，从中挑选好题、新题、典题，结合一些重要结论、论文成果、原创题等作为例题和习题，共达六百多道.这些问题不仅质量极高，以一当十，而且彼此关联，相辅相成.例题和习题均分为A、B、C三组，分组的主要依据是绝对难度，也参考其所在年代、所处考卷的位置等因素.A组题对于初学者已殊为不易，因为笔者有审美，篇幅也有限，所以没有太易和无味的题，就好比学习了加减乘除，一般会先做一些简单具体的数值运算，但笔者拒绝，因为这本书的读者并不一般.B组题的平均难度略高于全国高中数学联赛加试，将这些问题的思路、方法、书写规范彻底掌握，入选省队只是探囊取物.C组题主要来自各大竞赛的压轴及各国国家队的选拔考试，辅以一些著名定理或困难结论，平均难度约为中国国家队选拔考试.洞悉其来龙去脉，金牌是手到擒来，此时，数论殿堂的大门也将为你缓缓打开.

还有一点难能可贵，在各讲的选题与解答编写中，为照顾初学者，笔者坚决避免使用后续的概念、符号、定理，如前3讲不使用同余.本以为这样的严苛标准之下，可选的好题寥寥无几，不可思议的是，仍有大量的精彩问题入选.它们所用的知识极少，而思维深刻，技巧高超，令笔者震撼于数论的博大精深.

二、 深刻生动

作为一名曾经的数学竞赛生，后又在大学里尝试文学创作，笔者深感数学与文学是高度统一的，都是一种语言，都所需极简，一支笔、一张纸足矣，也都没有止境.所以，本书不仅保证数学方面的严谨性，还追求对思维的启发性和一定的可读性，并试图拥有一分文学的光彩.

本书的所有例题和大部分习题都配有点拨或评注，有思路的循循善诱，有题后的概括总结，有铺垫，有伏笔，有旁征博引，有前后呼应，有当年笔者亲历的真题，有一些经典结论背后的故事，有喜悦，有遗憾，有拍案叫绝叹为观止，有天妒英才扼腕叹息，有“春风得意马蹄疾”，有“欲买桂花同载酒，终不似，少年游”，也有愿景与祝福(如最后两道习题的评注).笔者相信文字的力量，足以点燃热情，启迪思想，开阔眼界.这些内容，读者从随手翻到的点拨或评注中都可一叶知秋.

因此，本书在作为数学竞赛的数论用书这一主要用途之外，也完全可以作为广大中学生及数学爱好者的数学读物.

三、 准确权威

在知识部分，力求精准、严谨、高效；  在例题和习题中，确保答案正确，方法多多益善，大量问题提供了原创解答或新颖的思路，甚至纠正了一些广为流传的错误.但是，人外有人，读者中卧虎藏龙，一定会有更好、更妙、更高的思路与观点，还请务必不吝赐教，与出版社或与笔者联系，在下先行致谢.

四、 感恩尊重

本书中，我的角色只是一个在海边拾贝，也拾人牙慧的孩童.

所有结论和问题，凡是知道的均注明时间及来源，这是对古今中外的数学家、数学工作者与爱好者的深深敬意与谢意，遗憾的是我并不知晓大部分命题人的名字，也许此生不会相见，但正如第3讲例66的评注中所写：  “或许这是属于数学的浪漫与永恒，尽管素未谋面，但却高山流水，心有灵犀”，也如第9讲知识拓展部分所引用的罗宾逊夫人的话：  “数学跨越国界、种族、意识形态、性别、年龄甚至时代，从古至今的所有数学家都是同事与同志，他们共同献身于最美丽的科学与艺术.”

所有解答，凡是知道的均注明人名，有成绩斐然的天之骄子，有数论的初学者，也有我的得意门生，他们年轻、聪明、真诚、热情，自古英雄出少年，古语云“一字之师”，一题当然更是，在这里我要尊称他们一声老师，我愿做一辈子的学生.

感谢清华大学出版社的信任与重视.感谢成开华教练带领我走向数竞.感谢网络平台支持喜爱我的每一位朋友.感谢张端阳学长及其创建的“数之谜”小程序，为广大数学爱好者们提供了宝贵的信息资源与交流平台.

感谢文学.我曾以为数学是唯一的真理，但数学不能解决所有问题.大学里陷入低谷的那几年，是文学将我收留.我终日写作，无人问津，却接近了另一种真理.这本书结束后，我将着手第二本小说，完成与二十二岁时的自己的约定.

亲爱的读者朋友们，也许我无法再攀登数学这座参天圣峰，但我会做好麦田里的守望者，山脚下的引路人.数学是科学领域仅存的个人英雄主义，是各种妖风肆虐下的最后一块净土，它欢迎所有求真求实纯粹专注的信徒，我很荣幸能用这本书送你们一小段路.

多说无益，开卷有益，去吧，少年，请远走高飞.我将用肃然的目光致以最高的敬意，为你们，为这座圣峰，为山腰上埋葬着的和仍在前进着的那些代表人类智力之巅的攀登者们.

周逸飞

2026.03