前  言

　　数学学科以其严密的公理体系、精妙的符号语言和深邃的思想内涵，已然成为当代人才培养的罗盘——不仅指向高考战场，更校准着强基计划的学术航向，丈量着数学竞赛的思维海拔。本书的诞生，正是为了构建一座连接知识平原与思维高峰的立体桥梁，为不同起点的攀登者铺设渐进式成长路径。

　　对于高中生而言，数学学习的目标早已不再局限于高考的分数，强基计划和数学竞赛为其提供了更为广阔的舞台，也带来了更高的挑战。高考培优要求学生在基础知识扎实的前提下，能够灵活运用知识解决综合性问题；强基计划着重考查学生的创新思维与学科素养，选拔在基础学科上有潜力的人才；而数学竞赛则是对学生数学思维深度与广度的极限挑战，需要学生具备深厚的知识储备和卓越的解题能力。这些不同层次的需求，使得高中数学学习变得复杂而多元。

　　本书在编写过程中，充分考虑到了这种多元化的需求，全面系统地梳理了高中数学竞赛知识体系。本书共分为五部分，总计36讲，内容丰富且层次分明，犹如一座精心构筑的数学大厦，引领读者逐步攀登数学竞赛的高峰。

　　第一部分是基础知识，它犹如大厦的基石，稳固而坚实。此篇全面涉及高中知识的主要内容，精准定位省级预赛、高考培优、强基计划以及高联一试的需求。题目难度设置独具匠心，相较于高考题，仅略作提升，却在方法技巧上展现出了更为丰富的变化与灵活性，对思维强度的要求也更为严苛。通过对这部分内容的深入学习，读者能够在巩固高中数学基础知识的同时，初步领略数学竞赛思维的独特魅力，为后续的深入学习打下坚实的基础。

　　第二部分是初等数论，这是数学领域中一颗璀璨的明珠，散发着独特的神秘魅力。主要涵盖整数的奇偶性和整除性、同余、不定方程、高斯函数以及初等数论的几个重要定理——费马小定理、欧拉定理和威尔逊定理。这些重要定理的引入，更是将数论的深度与广度进一步拓展，使读者能够站在更高的视角审视数论问题。

　　第三部分是代数，这是数学竞赛中不可或缺的重要板块。主要涉及多项式、不等式、数列和复数等内容。多项式的研究深入其根与系数的关系、多项式的整除与因式分解等高级领域；不等式的学习则突破了常规的解法，引入了各种巧妙的放缩技巧与构造方法，如柯西不等式、均值不等式的灵活运用，能够帮助读者解决许多看似棘手的最值问题；数列部分，除了常见的通项公式与求和公式的推导，还会深入探讨数列的递推关系、数列的极限以及数列在数学竞赛中的独特应用；复数的学习则为读者打开了一个全新的数学视野，复数的几何意义、复数的运算性质以及复数在代数和几何问题中的综合应用，都将极大地丰富读者的解题思路。

　　第四部分是平面几何，它承载着数学的美感与严谨逻辑。主要涉及平面几何的著名定理，如梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、欧拉定理、西姆松定理和斯特瓦尔特定理等。这些定理犹如平面几何领域的智慧结晶，蕴含着深刻的几何关系与美妙的数学原理。同时，本书还深入剖析了平面几何的常考题型，包括四点共圆、共点线、共线点、垂直和圆问题等。通过对这些著名定理的学习与常考题型的练习，读者能够不断提升自己的几何直观能力、逻辑推理能力和空间想象能力。

　　第五部分是组合数学，它充满了创新与挑战。主要涉及集合的分拆、抽屉原则、容斥原理、组合计数、组合几何、图论问题、染色问题等。组合数学以其独特的思维方式和解题策略，培养读者的创新思维与综合运用知识的能力。其中，抽屉原则以其简洁而深刻的思想，在解决存在性问题时屡建奇功；容斥原理则为处理复杂的计数问题提供了系统的方法；组合计数中的各种计数技巧，如排列组合公式的灵活运用、递推计数法、分类计数法等，都考验着读者的思维敏捷性与条理性；组合几何则将几何图形与组合思想相结合，产生出许多富有创意的问题；图论问题和染色问题更是近年来数学竞赛中的热点，它们以新颖的形式和深刻的内涵，吸引着众多数学爱好者深入探究。

　　在本书中，还涉及众多重要的数学思想方法，如化归思想，将复杂的问题转化为熟悉的问题进行求解；构造思想，通过巧妙地构造数学模型来解决问题；对应思想，建立起不同数学对象之间的联系；极端原理，从极端情况入手分析问题；抽屉原理，解决存在性与必然性问题；数学归纳法，用于证明与自然数相关的命题；反证法，通过假设反面结论来推导矛盾；母函数法，将组合问题转化为函数问题进行处理等。这些数学思想方法贯穿全书，犹如一条无形的线索，将各个知识点串联起来，使读者在学习知识的同时，能够领悟到数学的深邃思想与智慧精髓。

　　值得一提的是本书收录了近些年的高联真题、全国各省的预赛真题以及清北强基真题，这些真题具有极高的参考价值，能够让读者近距离感受各类竞赛的命题风格与难度水平，同时也有助于读者了解数学竞赛的最新动态与趋势。为了进一步丰富本书的内容，还精心收录了作者的部分原创题，这些原创题凝聚了作者多年的教学经验与数学智慧，具有独特的思维视角与解题思路，能够为读者带来全新的学习体验与挑战。

　　然而，尽管在编写过程中付出了巨大的努力，但由于作者水平有限，书中难免会存在一些不足之处。衷心地希望广大读者能够在使用本书的过程中，不吝批评指正，您的宝贵意见将是我们不断完善与进步的动力源泉。期待本书能够成为广大数学竞赛爱好者的得力助手，陪伴大家在数学竞赛的道路上砥砺前行，探索数学的无穷奥秘，收获知识与成长的喜悦。愿每一位读者都能在数学的海洋中畅游，凭借对数学的热爱与执着，扬起理想的风帆，驶向成功的彼岸。

　　注：本书是2022年贵州省教育科学规划课题重点课题“大概念视角下高中数学大单元作业设计原理及案例研究”（课题编号：2022A052）的研究成果之一。

　　李鸿昌

　　2025年12月于贵阳