线 性 代 数
(第3版)
居余马 胡金德 林翠琴 王飞燕 邢文训 编著
内 容 简 介
本书为高等院校理工科教材.全书共7章,内容包括: 行列式;矩阵;线性方程组;向量空间与线性变
换;特征值和特征向量,矩阵的对角化;二次型及应用问题.书末附录中还介绍了内积空间,埃尔米特二次
型,若尔当标准形,奇异值分解.
本书内容丰富,层次清晰,阐述深入浅出,简明扼要,习题丰富多样.通过二维码还可以获取相应的
MATLAB知识.可作为高等院校的教材(适用于35~70课时的教学)或教学参考书和考研复习用书.
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图书在版编目 (CIP) 数据
线性代数 / 居余马等编著. -- 3版. -- 北京 : 清华大学出版社, 2026. 11.
ISBN 978-7-302-72813-9
Ⅰ. O151.2
中国国家版本馆CIP数据核字第2026ET5187号
责任编辑: 刘 颖
封面设计: 傅瑞学
责任校对: 王淑云
责任印制: 宋 林
出版发行: 清华大学出版社
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经销: 全国新华书店
开本: 185mm×260mm 印 张: 16.25 字 数: 394千字
版次: 1995年1月第1版 2026年11月第3版印 次: 2026年11月第1次印刷
定价: 49.00元
产品编号: 116948-01
第3版前言
本书第2版出版至今已有24年.20余年来,本书承蒙全国广大读者与授课教师的信任和厚爱,被多所高等院校选用为课堂教学教材,也被众多学习者作为课程学习与能力提升的重要参考书.2026年,本书成功入选“十四五”普通高等教育本科国家级规划教材,这是教育主管部门与学界对本书教学适用性、内容体系质量的充分肯定.为更好地适应当前高等教育线性代数课程的教学实际,契合线性代数理论在工程技术、科学计算等领域应用不断拓展的发展需求,我们在保留第2版成熟教学体系的基础上对全书进行了全面修订,形成本书第3版.
本次修订保持教材原有正文核心内容、整体体系框架与章节编排结构不变,最大限度保证教材内容的延续性与教学稳定性,主要优化与更新内容集中在体例规范、内容完善、资源配套与知识拓展等方面.针对原书例题、性质仅按小节编号,无法体现章节归属且存在编号重复、引用不便的问题,新版对全书例题与性质统一实行按章编号体例,采用“例2.3”“性质1.2”的编号格式,前一位数字代表对应章数,后一位数字为本章内统一序号,与全书定义、定理的编号格式保持一致,解决编号不唯一、交叉引用不清晰的问题.同时,全书公式编号体例完成统一,删除例题推导过程中圈号式临时编号方式,全部采用章节序号式编号格式,使全书体例更加规整统一.
在内容编排上,本次修订对各章习题答案位置进行统一调整,将原本紧随各章习题之后的参考答案全部移至全书附录末尾,使教材正文、习题部分更加整洁,更贴合课堂教学与课后自主练习的使用习惯.为助力学生积累专业英文词汇、拓展专业视野,本书对全部核心专业术语补充规范英文拼写,书后索引同步配套英文译名,并精准标注对应正文页码,极大地提升全书内容的检索性与实用性.考虑到教材改版周期较长,难以实时跟进全国硕士研究生招生考试线性代数试题的命题变化与趋势,原书附录C历年考研线性代数试题汇编内容时效性不足,本次修订予以删除.
为进一步提升教材的可读性与易懂性,编者结合多年一线教学经验,对全书部分知识点的文字表述进行优化打磨,修正晦涩生硬的语句,梳理逻辑层次,让知识讲解更加通俗清晰、贴合学生认知规律.同时,新增若干几何示意图,强化线性代数知识的几何直观性,搭建代数理论与几何直观的紧密联系,帮助读者突破抽象学习难点,深化对矩阵、向量、线性变换等核心知识的理解.
为实现理论教学与工程实操深度融合,适配新时代工科人才培养需求,本次修订在各章配套增设MATLAB学习资源二维码.读者可通过扫描对应章的二维码,同步获取配套的MATLAB实操内容,实现理论知识学习与软件工具应用同步推进,切实提升读者的工程计算与实践应用能力.此外,结合奇异值分解在现代工程技术、数据分析、图像处理等领域的广泛应用,本次修订在书后附录新增奇异值分解相关知识内容,丰富教材拓展模块,增强教材的工程适配性与前沿性.
本书第3版的顺利修订与出版,得到了清华大学出版社刘颖博士的悉心指导、大力支持和细致帮助,在此谨致以最诚挚的谢意!
利用AI技术,清华大学出版社为此书提供了AI回答服务.扫描本页中的AI助理二维码即可进入AI助理,读者可对书中内容(含二维码资源)进行提问,AI助理会根据图书内容输出相应的回答.
由于编者学识水平与教学视野有限,书中难免存在疏漏、不妥乃至谬误之处,恳请广大使用本书的师生与读者批评指正.
编 者
2026年6月于清华园
AI助理二维码
第2版前言
本书第2版在正文的基本内容及教材的体系框架和章节安排方面,基本上与原书(第1版)一致,保留了原书的风格.第2版的变化主要有以下几点.
1. 改变了部分内容的阐述方式.正文有些部分(如矩阵运算的特点,用配方法和初等变换法化二次型为标准形等)的阐述更为精练和简明易懂.
2. 增加了部分内容.在第2章中增添了附录———数域 命题 量词,着重说明了用反证法证明一个命题的思路,以及如何表述含有量词(?,?)的命题的否命题,这些内容可安排自学,它有助于学生更好地掌握一些定理的证明方法.此外,在第4章的4.6节中增添了线性变换的象(值域)和核的概念及它们的维数公式,这可使学生更清楚地理解: 齐次和非齐线性方程组的求解只是向量空间的线性变换求核和原象的一个具体问题.
3. 对例题和习题的配置做了一些调整和充实.与原书的题目相比,第2版的例题和习题更丰富,题型也更多样,更能启迪读者运用基本概念、基本理论和基本方法去分析、解决各种具体问题.在补充题中配置了相当数量的新题目,它们与历年来考研试题的要求和题型相适应,其中有些就是考研试题.
4. 按本书前6章的体系汇编了历年来硕士研究生入学考试中线性代数试题,这不仅使有志于攻读硕士研究生的学生能在学习过程中就作适当的准备,而且所有学生也能从中具体理解线性代数课程的基本要求和重点.考虑到学生掌握了本书的正文内容,并能演算和证明所配置的习题和部分补充题,就不难独立完成这些考研试题,所以我们没有给出这些试题的答案(只对个别较难的题给了提示),不给答案也有利于学生在答题过程中通过思考和钻研,提高自己分析、解决问题的能力.
第2版的编写是5位编者的共同愿望,经过讨论,正文由居余马执笔编写,习题的配置和历年考研试题的汇编由林翠琴负责编写.本书第2版也是在清华大学出版社刘颖博士大力促进与支持下才顺利与读者见面的,在此特向他致以深切的谢意.由于编者水平所限,不妥之处在所难免,恳请读者和使用本教材的教师批评指正.
编 者
2002年2月于清华园
第1版前言
本书是根据全国工科数学课程指导委员会制定的“线性代数”课程基本要求,以及我们多年来在清华大学讲授本课程的实际体会编写而成的.本书适用于教学要求不同的院校和专业,课内学时为35~72的都可选用本书作为教材.
线性代数是一门基础数学课程,它的基本概念、理论和方法,具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性;它的核心内容是研究有限维线性空间的结构和线性空间的线性变换.由于数域F 上的n 维线性空间V(F)与n 维向量空间Fn 是同构的,给定了n 维线性空间V(F)的一组基后,V(F)的线性变换与数域F 上的n 阶矩阵一一对应,因此,在学时较少的情况下,教学的基本要求是: 熟练掌握n 维向量的线性运算,理解线性相关性的理论,搞清Rn 的基、向量在基下的坐标、向量的内积运算及向量的长度与夹角等概念;熟练掌握矩阵的基本运算、线性方程组的解的理论和求解方法;掌握矩阵的特征值和特征向量、矩阵的对角化及二次型的标准形和正定二次型的基本概念和理论.在上述教学内容中,要注重基本概念和理论,着重培养熟练的运算能力,适当地训练逻辑思维和推理能力.
关于教材内容,做了以下一些处理:
1. 关于行列式.采用简便的递归法来定义n 阶行列式,并相应地证明它的性质.这比用逆序法定义可节省一些学时.
2. 关于矩阵.从高斯消元法入手,引进矩阵和初等变换的概念.对于矩阵的运算,除了要熟练掌握加法、数乘、乘法、求逆及转置等基本运算,还要加强初等变换和分块矩阵运算,它们不仅是矩阵运算的重要方法和技巧,而且在理论分析中也有重要意义.
3. 关于线性方程组.将方程组放在矩阵之后讲解,可以充分利用矩阵工具,使表述简明.向量的线性相关性的概念和矩阵的秩的概念是这一章的难点,以三维几何向量在线性运算下的关系作背景,抽象出n 维向量的线性相关性的概念,便于初学者理解这个重要的概念.利用初等行变换不改变矩阵的行秩和列秩以及阶梯形矩阵的行秩等于列秩,来证明矩阵的列秩等于其行秩,这样容易为读者所理解.
4. 关于向量空间.重点放在搞清Rn 的基本结构,以三维几何向量为背景,一并提出Rn 中的线性运算和内积运算,阐明Rn 的基和向量在基下的坐标的概念以及向量的几何度量性.如果教学学时允许的话,在Rn 的基础上再进一步讲授一般线性空间的概念和理论.至于一般的欧氏空间和内积空间的概念,则把它放在附录中,这是因为受一般工科院校的本课程学时所限,而不能列入教学要求.
5. 关于线性变换.以一元线性函数为背景,抽象出n 维向量空间的线性变换的概念,并列举了CAD中常用的线性变换的例子.进而讲了线性变换的矩阵表示和线性变换的运算.
6. 关于特征值和特征向量,书中只讲矩阵的特征值和特征向量.深入讨论了矩阵可对角化的条件,学时少时可重点掌握实对称矩阵的对角化.
7. 关于二次型.将其放在最后,目的是用已学过的知识,全面地讨论二次型化标准形的方法和正定二次型的判定.学时少时只要求掌握通过正交变换化二次型为标准形.
8. 关于应用问题.书中专列一章应用问题,是为学有余力的学生提供一些材料,使他们对线性代数应用的广泛性有所了解.
本书的编排情况为:
(1) 正文分为基本部分、引申和应用部分及附录.基本部分共6章,引申部分用打“*”的办法安排在有关章节.
(2) 习题分为基本题、打“*”题和补充题.打“*”题主要是一些证明题和引申内容的训练题,补充题一般比打“*”题更难一些.
对于课内不超过40学时的院校,我们建议以正文的基本部分和习题的基本题作为讲授和训练的基本要求.
本书由居余马(主编)与胡金德、林翠琴、王飞燕、邢文训合编,是在居余马(主编)与胡金德合编的《线性代数及其应用》的基础上做了较大修改而写成的.第1章由王飞燕、第2章及附录B由胡金德、第3,4章由居余马、第5,7章由林翠琴、第6章及附录A 由邢文训编写,最后由主编做了些修改而定稿.由于水平所限,不妥或谬误之处在所难免,恳请读者和使用本教材的教师批评指正.
编 者
1994年5月于清华园
目 录
第1章 行列式………………………………………………………………………………… 1
1.1 n 阶行列式的定义及性质 ………………………………………………………… 1
1.2 n 阶行列式的计算 ………………………………………………………………… 9
1.3 克莱姆法则………………………………………………………………………… 16
本章附录 性质1.1的证明 双重连加号 …………………………………………… 19
习题 补充题 …………………………………………………………………………… 22
第2章 矩阵 ………………………………………………………………………………… 27
2.1 高斯消元法………………………………………………………………………… 27
2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法…………………………………………………… 32
2.3 矩阵的转置 对称矩阵…………………………………………………………… 40
2.4 可逆矩阵的逆矩阵………………………………………………………………… 42
2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵……………………………………………………… 46
2.6 分块矩阵…………………………………………………………………………… 52
本章附录 数域 命题 量词 ………………………………………………………… 59
习题 补充题 …………………………………………………………………………… 61
第3章 线性方程组 ………………………………………………………………………… 69
3.1 n 维向量及其线性相关性………………………………………………………… 69
3.2 向量组的秩及其极大线性无关组………………………………………………… 75
3.3 矩阵的秩 *相抵标准形 ………………………………………………………… 77
3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构…………………………………… 83
3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构……………………………………… 87
习题 补充题 …………………………………………………………………………… 92
第4章 向量空间与线性变换 ……………………………………………………………… 98
4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 …………………………………………………… 98
4.2 Rn中向量的内积 标准正交基和正交矩阵 …………………………………… 102
*4.3 线性空间的定义及简单性质 …………………………………………………… 108
*4.4 线性子空间 ……………………………………………………………………… 110
*4.5 线性空间的基 维数 向量的坐标 …………………………………………… 113
*4.6 向量空间的线性变换 …………………………………………………………… 118
习题 补充题…………………………………………………………………………… 131
第5章 特征值和特征向量 矩阵的对角化……………………………………………… 137
5.1 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵 ………………………………………… 137
5.2 矩阵可对角化的条件 …………………………………………………………… 143
5.3 实对称矩阵的对角化 …………………………………………………………… 148
习题 补充题…………………………………………………………………………… 152
第6章 二次型……………………………………………………………………………… 156
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵 ………………………………………… 156
6.2 化二次型为标准形 ……………………………………………………………… 159
*6.3 惯性定理和二次型的规范形 …………………………………………………… 167
6.4 正定二次型和正定矩阵 ………………………………………………………… 170
*6.5 其他有定二次型 ………………………………………………………………… 175
习题 补充题…………………………………………………………………………… 177
*第7章 应用问题 ………………………………………………………………………… 180
7.1 人口模型 ………………………………………………………………………… 180
7.2 马尔可夫链 ……………………………………………………………………… 185
7.3 投入产出数学模型 ……………………………………………………………… 188
7.4 图的邻接矩阵 …………………………………………………………………… 192
7.5 递推关系式的矩阵解法 ………………………………………………………… 194
7.6 矩阵在求解常系数线性微分方程组中的应用 ………………………………… 196
7.7 不相容方程组的最小二乘解 …………………………………………………… 199
习题 补充题…………………………………………………………………………… 203
附录A 内积空间 埃尔米特二次型……………………………………………………… 208
A.1 实内积空间 欧氏空间 ………………………………………………………… 208
A.2 度量矩阵和标准正交基 ………………………………………………………… 210
A.3 复向量的内积 酉空间 ………………………………………………………… 213
A.4 酉矩阵和复矩阵分解 …………………………………………………………… 215
习题……………………………………………………………………………………… 216
附录B 若尔当标准形(简介)……………………………………………………………… 218
习题……………………………………………………………………………………… 224
附录C 奇异值分解………………………………………………………………………… 225
习题……………………………………………………………………………………… 228
习题答案……………………………………………………………………………………… 230
中英名词索引………………………………………………………………………………… 245
